---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-33
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-33
source: Matura próbna Operon listopad 2018
category: Geometria analityczna
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-33

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2018
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(A=(-9,8)\). Bok \(BC\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y=-2x+38\). Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka \(B\) ma równanie \(3x+2y-61=0\). Wyznacz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) oraz napisz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka \(C\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(B=(15,8), C=(9,20)\)prosta \(CD: x=9\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-33.png]

## Krok 2: Znajdowanie współrzędnych wierzchołka B

Wierzchołek $B$ należy jednocześnie do:
- prostej $BC$: $y = -2x + 38$
- wysokości z $B$: $3x + 2y - 61 = 0$

Podstawiamy $y = -2x + 38$ do równania wysokości:

$$3x + 2(-2x + 38) - 61 = 0$$

$$3x - 4x + 76 - 61 = 0$$

$$-x + 15 = 0$$

$$x = 15$$

Stąd:

$$y = -2 \cdot 15 + 38 = -30 + 38 = 8$$

Zatem $B = (15, 8)$.

## Krok 3: Znajdowanie współrzędnych wierzchołka C

Wysokość z wierzchołka $B$ jest prostopadła do boku $AC$.

**Wektor kierunkowy prostej $AC$:**

Prosta $3x + 2y - 61 = 0$ ma wektor normalny $\vec{n} = (3, 2)$, który jest wektorem kierunkowym prostej $AC$.

**Równanie prostej $AC$:**

Prosta przechodzi przez $A = (-9, 8)$ i ma wektor kierunkowy $(3, 2)$:

$$\frac{x + 9}{3} = \frac{y - 8}{2}$$

$$2(x + 9) = 3(y - 8)$$

$$2x + 18 = 3y - 24$$

$$2x - 3y + 42 = 0$$

**Znajdowanie punktu C:**

Punkt $C$ jest przecięciem prostych $AC$ i $BC$:
- $BC$: $y = -2x + 38$
- $AC$: $2x - 3y + 42 = 0$

Podstawiamy $y = -2x + 38$ do równania prostej $AC$:

$$2x - 3(-2x + 38) + 42 = 0$$

$$2x + 6x - 114 + 42 = 0$$

$$8x - 72 = 0$$

$$x = 9$$

Stąd:

$$y = -2 \cdot 9 + 38 = -18 + 38 = 20$$

Zatem $C = (9, 20)$.

## Krok 4: Równanie wysokości z wierzchołka C

Wysokość z wierzchołka $C$ jest prostopadła do boku $AB$.

**Wektor $\vec{AB}$:**

$$\vec{AB} = B - A = (15 - (-9), 8 - 8) = (24, 0)$$

**Prostopadłość:**

Wysokość z $C$ jest prostopadła do wektora $(24, 0)$, czyli jest pionowa (równoległa do osi $y$).

**Równanie wysokości:**

Prosta pionowa przechodząca przez $C = (9, 20)$ ma równanie:

$$x = 9$$

---

**Odpowiedź:** $B = (15, 8)$, $C = (9, 20)$, wysokość z $C$: $x = 9$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2018