---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-32
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-32
source: Matura próbna Operon listopad 2018
category: Ciągi
points: 3
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-32

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2018
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest skończony, pięciowyrazowy ciąg \((4a-5; a; b; b+2; 9)\). Trzy pierwsze wyrazy tego ciągu są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a trzy ostatnie są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(a\) i \(b\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(a=2, b=1\) lub \(a=\frac{1}{2}, b=4\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Mamy ciąg pięciowyrazowy: \((4a-5; a; b; b+2; 9)\)

## Warunek dla ciągu arytmetycznego

Trzy pierwsze wyrazy \((4a-5; a; b)\) tworzą ciąg arytmetyczny, więc różnica między kolejnymi wyrazami jest stała:

$$a - (4a-5) = b - a$$

Upraszczamy lewą stronę:
$$a - 4a + 5 = b - a$$
$$-3a + 5 = b - a$$
$$-3a + a = b - 5$$
$$-2a = b - 5$$

Stąd:
$$b = 5 - 2a \quad \text{(równanie 1)}$$

## Warunek dla ciągu geometrycznego

Trzy ostatnie wyrazy \((b; b+2; 9)\) tworzą ciąg geometryczny, więc iloraz między kolejnymi wyrazami jest stały:

$$\frac{b+2}{b} = \frac{9}{b+2}$$

Mnożymy obie strony przez \(b(b+2)\):
$$(b+2)^2 = 9b$$

Rozwijamy:
$$b^2 + 4b + 4 = 9b$$
$$b^2 + 4b - 9b + 4 = 0$$
$$b^2 - 5b + 4 = 0$$

## Rozwiązanie równania kwadratowego

Stosujemy wzór lub rozkład na czynniki:
$$b^2 - 5b + 4 = (b-1)(b-4) = 0$$

Zatem:
$$b = 1 \quad \text{lub} \quad b = 4$$

## Znalezienie wartości \(a\)

Podstawiamy do równania (1): \(b = 5 - 2a\)

**Dla \(b = 1\):**
$$1 = 5 - 2a$$
$$2a = 4$$
$$a = 2$$

**Dla \(b = 4\):**
$$4 = 5 - 2a$$
$$2a = 1$$
$$a = \frac{1}{2}$$

## Weryfikacja

**Dla \(a = 2, b = 1\):**
- Ciąg: \((3; 2; 1; 3; 9)\)
- Pierwsze trzy: \(3, 2, 1\) — różnica \(-1\) ✓
- Ostatnie trzy: \(1, 3, 9\) — iloraz \(3\) ✓

**Dla \(a = \frac{1}{2}, b = 4\):**
- Ciąg: \((-3; \frac{1}{2}; 4; 6; 9)\)
- Pierwsze trzy: \(-3, \frac{1}{2}, 4\) — różnica \(\frac{7}{2}\) ✓
- Ostatnie trzy: \(4, 6, 9\) — iloraz \(\frac{3}{2}\) ✓

## Odpowiedź

$$a = 2, \, b = 1 \quad \text{lub} \quad a = \frac{1}{2}, \, b = 4$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2018