---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-31
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-31
source: Matura próbna Operon listopad 2018
category: Prawdopodobieństwo
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-31

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2018
**Kategoria:** Prawdopodobieństwo
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Spośród wszystkich wierzchołków sześciokąta foremnego o krawędzi \(1\) losujemy dowolne dwa. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowane wierzchołki utworzą odcinek, którego długość jest liczbą niewymierną.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{2}{5}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-31.png]

Rozpatruje się sześcioką foremny o boku długości 1.

## Krok 2: Liczba wszystkich możliwych par wierzchołków

Sześcioką ma 6 wierzchołków. Liczba wszystkich możliwych par:
$$\binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$$

## Krok 3: Określenie długości odcinków

Ponumeruję wierzchołki sześciokąta jako \(A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6\) kolejno wokół figury.

W sześciokącie foremnym o boku 1 możliwe są trzy rodzaje odcinków:

**Typ 1: Boki sześciokąta**
- Odległość między sąsiednimi wierzchołkami: \(d_1 = 1\)
- Liczba takich odcinków: 6

**Typ 2: Krótsze przekątne**
- Odległość między wierzchołkami oddzielonymi jednym wierzchołkiem (np. \(A_1A_3\))
- Dla sześciokąta foremnego o boku 1: \(d_2 = \sqrt{3}\)
- Liczba takich odcinków: 6

**Typ 3: Długie przekątne (średnice)**
- Odległość między wierzchołkami naprzeciwległymi (np. \(A_1A_4\))
- Dla sześciokąta foremnego o boku 1: \(d_3 = 2\)
- Liczba takich odcinków: 3

Sprawdzenie: \(6 + 6 + 3 = 15\) ✓

## Krok 4: Określenie, które długości są wymierne

- \(d_1 = 1\) — **liczba wymierna**
- \(d_2 = \sqrt{3}\) — **liczba niewymierna**
- \(d_3 = 2\) — **liczba wymierna**

## Krok 5: Zliczenie odcinków o długości niewymiernej

Odcinki o długości niewymiernej to tylko te typu 2 (długości \(\sqrt{3}\)):
$$n = 6$$

## Krok 6: Obliczenie prawdopodobieństwa

$$P = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$$

**Odpowiedź: \(\frac{2}{5}\)**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/prawdopodobienstwo
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2018