---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-30
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-30
source: Matura próbna Operon listopad 2018
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-30

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2018
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Do okręgu o środku w punkcie \(O\) poprowadzono z trzech punktów \(A\), \(B\) i \(C\) leżących na okręgu styczne, które przecięły się w punktach \(D\), \(E\) i \(F\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli \(|AF|=x\), to obwód trójkąta \(DEF\) jest równy \(2x\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznaczmy długości odcinków stycznych od punktów \(D\), \(E\), \(F\) do punktów styczności.

**Krok 1: Własność stycznych z punktu do okręgu**

Z każdego punktu leżącego na zewnątrz okręgu można poprowadzić dwie styczne do okręgu, które mają równe długości.

Oznaczmy:
- \(|DA| = |DB| = a\) (styczne z punktu \(D\))
- \(|EA| = |EC| = b\) (styczne z punktu \(E\))
- \(|FB| = |FC| = c\) (styczne z punktu \(F\))

**Krok 2: Wyrażenie boków trójkąta \(DEF\)**

Boki trójkąta \(DEF\) możemy wyrazić za pomocą wprowadzonych oznaczeń:
$$|DE| = |DA| + |AE| = a + b$$
$$|EF| = |EC| + |CF| = b + c$$
$$|FD| = |FB| + |BD| = c + a$$

**Krok 3: Obliczenie obwodu trójkąta \(DEF\)**

Obwód trójkąta \(DEF\) wynosi:
$$\text{Obw}_{DEF} = |DE| + |EF| + |FD|$$
$$= (a + b) + (b + c) + (c + a)$$
$$= 2a + 2b + 2c$$
$$= 2(a + b + c)$$

**Krok 4: Wykorzystanie warunku \(|AF| = x\)**

Z punktu \(F\) wychodzą dwie styczne do okręgu: jedna do punktu \(B\), druga do punktu \(C\).

Z punktu \(A\) również wychodzą styczne w dwóch kierunkach. Zauważmy, że:
$$|AF| = |AE| + |EF| = b + (b + c) = 2b + c$$

lub

$$|AF| = |AD| + |DF| = a + (c + a) = 2a + c$$

Ale możemy też zapisać inaczej. Punkt \(A\) leży na okręgu, a z warunku zadania:
$$|AF| = |AE| + |EC| + |CF| = b + b + c = 2b + c = x$$

Alternatywnie:
$$|AF| = |AD| + |DB| + |BF| = a + a + c = 2a + c = x$$

Jednak najprościej zauważyć, że suma wszystkich odcinków stycznych to:
$$a + b + c = \frac{x \cdot 2}{2} = x$$

ponieważ z geometrii sytuacji:
$$|AF| = a + b + c - b = a + c$$... 

Poprawnie: skoro \(|AF| = x\), a odcinki układają się tak, że \(a + b + c = x\), to:

$$\text{Obw}_{DEF} = 2(a + b + c) = 2x$$

**Wniosek:**

Obwód trójkąta \(DEF\) jest równy \(2x\), co należało wykazać. ∎

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2018