---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-29
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-29
source: Matura próbna Operon listopad 2018
category: Funkcja kwadratowa
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-29

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2018
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dana jest funkcja \(f(x)=-3x^2+bx+c\) dla \(x\in \mathbb{R} \). Prosta o równaniu \(x=2\) jest osią symetrii paraboli będącej jej wykresem, a zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \((-\infty ;21\rangle \). Wyznacz współczynniki \(b\) i \(c\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(b=12, c=9\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Dla funkcji kwadratowej \(f(x) = -3x^2 + bx + c\) musimy wyznaczyć współczynniki \(b\) i \(c\) na podstawie dwóch warunków.

## Krok 1: Wykorzystanie osi symetrii

Oś symetrii paraboli ma równanie:
$$x = -\frac{b}{2a}$$

gdzie \(a = -3\), więc:
$$2 = -\frac{b}{2 \cdot (-3)} = \frac{b}{6}$$

Mnożymy obie strony przez 6:
$$b = 12$$

## Krok 2: Wykorzystanie zbioru wartości

Ponieważ \(a = -3 < 0\), parabola ma ramiona skierowane w dół, więc funkcja ma wartość maksymalną.

Zbiór wartości \((-\infty; 21]\) oznacza, że maksymalna wartość funkcji wynosi 21.

Wartość maksymalna jest osiągana w wierzchołku paraboli, czyli dla \(x = 2\):
$$f(2) = 21$$

Podstawiamy \(x = 2\) i \(b = 12\) do wzoru funkcji:
$$-3 \cdot 2^2 + 12 \cdot 2 + c = 21$$

$$-3 \cdot 4 + 24 + c = 21$$

$$-12 + 24 + c = 21$$

$$12 + c = 21$$

$$c = 9$$

## Weryfikacja

Sprawdzamy: \(f(x) = -3x^2 + 12x + 9\)

- Oś symetrii: \(x = -\frac{12}{2 \cdot (-3)} = \frac{12}{6} = 2\) ✓
- Wartość w wierzchołku: \(f(2) = -12 + 24 + 9 = 21\) ✓
- Zbiór wartości: \((-\infty; 21]\) ✓

**Odpowiedź: \(b = 12\) i \(c = 9\)**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2018