---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-27
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-27
source: Matura próbna Operon listopad 2018
category: Liczby rzeczywiste
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-27

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2018
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że jeżeli liczby \(a\) i \(b\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, to liczba \(\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2\) jest podzielna przez \(4\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Skoro \(a\) i \(b\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, to:
$$b = a + 1$$

Podstawia się \(b = a + 1\) do wyrażenia:
$$\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2$$

**Krok 1:** Stosuje się wzór skróconego mnożenia \(x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)\)

Dla \(x = a+\frac{1}{2}b\) i \(y = a-\frac{1}{2}b\):

$$\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2 = \left[\left(a+\frac{1}{2}b\right) - \left(a-\frac{1}{2}b\right)\right] \cdot \left[\left(a+\frac{1}{2}b\right) + \left(a-\frac{1}{2}b\right)\right]$$

**Krok 2:** Upraszcza się nawiasy:

$$= \left[a+\frac{1}{2}b - a+\frac{1}{2}b\right] \cdot \left[a+\frac{1}{2}b + a-\frac{1}{2}b\right]$$

$$= \left[b\right] \cdot \left[2a\right]$$

$$= 2ab$$

**Krok 3:** Podstawia się \(b = a + 1\):

$$2ab = 2a(a+1) = 2a^2 + 2a = 2a(a+1)$$

**Krok 4:** Analizuje się podzielność przez 4:

Liczba \(2a(a+1)\) jest iloczynem liczby \(2\) oraz iloczynu dwóch kolejnych liczb naturalnych \(a\) i \(a+1\).

Wśród dwóch kolejnych liczb naturalnych \(a\) i \(a+1\) dokładnie jedna jest parzysta.

Dlatego iloczyn \(a(a+1)\) jest liczbą parzystą, czyli \(a(a+1) = 2k\) dla pewnej liczby całkowitej \(k\).

**Krok 5:** Wniosek:

$$2a(a+1) = 2 \cdot 2k = 4k$$

Zatem liczba \(\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2\) jest podzielna przez \(4\).

$$\boxed{\text{c.b.d.o.}}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2018