---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-26
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-26
source: Matura próbna Operon listopad 2018
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-26

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2018
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W trapezie \(ABCD\) przekątne przecinają się w punkcie \(P\). Punkt \(P\) dzieli przekątne na odcinki długości: \(|AP|=8\), \(|PC|=3\) i \(|BP|=12\). Długości podstaw \(AB\) i \(CD\) trapezu różnią się o \(15\). Oblicz długość odcinka \(DP\) oraz długości podstaw \(AB\) i \(CD\) trapezu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(|DP|=4{,}5; |CD|=9; |AB|=24\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Wykorzystanie własności podobieństwa trójkątów

W trapezie przekątne dzielą się w stosunku długości podstaw. Trójkąty \(APB\) i \(CPD\) są podobne (kąty wierzchołkowe przy \(P\) oraz kąty naprzemianległe przy podstawach równoległych).

Ze względu na podobieństwo:
$$\frac{|AP|}{|PC|} = \frac{|BP|}{|PD|} = \frac{|AB|}{|CD|}$$

## Krok 2: Obliczenie długości \(|DP|\)

Z proporcji:
$$\frac{|AP|}{|PC|} = \frac{|BP|}{|PD|}$$

Podstawiamy dane wartości:
$$\frac{8}{3} = \frac{12}{|PD|}$$

Mnożymy krzyżowo:
$$8 \cdot |PD| = 3 \cdot 12$$
$$8 \cdot |PD| = 36$$
$$|PD| = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} = 4{,}5$$

## Krok 3: Wyznaczenie stosunku podstaw

Ze stosunku podobieństwa:
$$\frac{|AB|}{|CD|} = \frac{|AP|}{|PC|} = \frac{8}{3}$$

Możemy zapisać:
$$|AB| = \frac{8}{3} \cdot |CD|$$

## Krok 4: Wykorzystanie warunku o różnicy podstaw

Wiemy, że:
$$|AB| - |CD| = 15$$

Podstawiamy wyrażenie z kroku 3:
$$\frac{8}{3} \cdot |CD| - |CD| = 15$$

$$|CD| \left(\frac{8}{3} - 1\right) = 15$$

$$|CD| \cdot \frac{5}{3} = 15$$

$$|CD| = 15 \cdot \frac{3}{5} = 9$$

## Krok 5: Obliczenie długości \(|AB|\)

$$|AB| = |CD| + 15 = 9 + 15 = 24$$

## Weryfikacja

Sprawdzamy stosunek:
$$\frac{|AB|}{|CD|} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3} \checkmark$$

Sprawdzamy drugie równanie:
$$\frac{|BP|}{|PD|} = \frac{12}{4{,}5} = \frac{12}{\frac{9}{2}} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3} \checkmark$$

## Odpowiedź

$$|DP| = 4{,}5$$
$$|CD| = 9$$
$$|AB| = 24$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2018