---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-23
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-23
source: Matura próbna Operon listopad 2018
category: Stereometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-23

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2018
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy równej \(4\). Graniastosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną \(BD\) podstawy i wierzchołek \(C’\). Otrzymany przekrój jest trójkątem, którego wysokość poprowadzona z wierzchołka \(C’\) jest równa \(12\). Wysokość graniastosłupa jest równa:

## Odpowiedzi

- **A.** \( 2\sqrt{35} \)
- **B.** \( 4\sqrt{7} \)
- **C.** \( 2\sqrt{34} \)
- **D.** \( 8\sqrt{2} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-23.png]

Oznaczymy wysokość graniastosłupa jako \(H\).

**Krok 2: Ustalenie układu współrzędnych**

Umieśćmy graniastosłup w układzie współrzędnych. Podstawa \(ABCD\) ma wierzchołki:
- \(A = (0, 0, 0)\)
- \(B = (4, 0, 0)\)
- \(C = (4, 4, 0)\)
- \(D = (0, 4, 0)\)

Górna podstawa \(A'B'C'D'\):
- \(C' = (4, 4, H)\)

**Krok 3: Analiza przekroju**

Przekrój przechodzi przez punkty \(B\), \(D\) i \(C'\), tworząc trójkąt \(BDC'\).

**Krok 4: Obliczenie długości przekątnej podstawy**

$$BD = \sqrt{(4-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2}$$

**Krok 5: Znajdowanie środka \(BD\)**

Środek przekątnej \(BD\):
$$S = \left(\frac{4+0}{2}, \frac{0+4}{2}, 0\right) = (2, 2, 0)$$

**Krok 6: Wysokość trójkąta z wierzchołka \(C'\)**

Wysokość z wierzchołka \(C'\) na podstawę \(BD\) jest prostopadła do \(BD\).

Zauważmy, że punkt \(C = (4, 4, 0)\) leży dokładnie nad środkiem \(S\) przekątnej \(BD\), ponieważ w kwadracie przekątne przecinają się w jego środku, a \(C\) jest wierzchołkiem kwadratu.

Odległość \(C\) od prostej \(BD\):
$$CS = \sqrt{(4-2)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$$

**Krok 7: Wysokość z \(C'\) na \(BD\)**

Wysokość z \(C'\) na \(BD\) tworzy odcinek od \(C' = (4, 4, H)\) prostopadły do prostej \(BD\) w płaszczyźnie przekroju.

Podstawa wysokości to punkt na prostej \(BD\), który leży w płaszczyźnie przechodzącej przez \(C'\) prostopadle do \(BD\). Ten punkt to \(S = (2, 2, 0)\).

Wysokość trójkąta:
$$h = C'S = \sqrt{(4-2)^2 + (4-2)^2 + (H-0)^2} = \sqrt{4 + 4 + H^2} = \sqrt{8 + H^2}$$

**Krok 8: Rozwiązanie równania**

Z treści zadania wiemy, że wysokość równa się 12:
$$\sqrt{8 + H^2} = 12$$

Podnosimy obie strony do kwadratu:
$$8 + H^2 = 144$$
$$H^2 = 136$$
$$H = \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} = 2\sqrt{34}$$

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2018