---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-14
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-14
source: Matura próbna Operon listopad 2018
category: Ciągi
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-14

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2018
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W pewnym ciągu arytmetycznym suma dwóch pierwszych wyrazów jest równa \(5\frac{1}{2}\), a suma trzech pierwszych wyrazów jest równa \(12\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

## Odpowiedzi

- **A.** \( 1\frac{1}{2} \)
- **B.** \( 4\frac{1}{2} \)
- **C.** \( -\frac{1}{2} \)
- **D.** \( 1 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznaczmy pierwszy wyraz ciągu przez \(a_1\), a różnicę ciągu przez \(r\).

W ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy wyrażamy jako:
- \(a_1 = a_1\)
- \(a_2 = a_1 + r\)
- \(a_3 = a_1 + 2r\)

**Krok 1: Zapisanie warunków z treści zadania**

Suma dwóch pierwszych wyrazów:
$$a_1 + a_2 = 5\frac{1}{2}$$
$$a_1 + (a_1 + r) = \frac{11}{2}$$
$$2a_1 + r = \frac{11}{2} \quad \text{...(1)}$$

Suma trzech pierwszych wyrazów:
$$a_1 + a_2 + a_3 = 12$$
$$a_1 + (a_1 + r) + (a_1 + 2r) = 12$$
$$3a_1 + 3r = 12 \quad \text{...(2)}$$

**Krok 2: Rozwiązanie układu równań**

Z równania (2):
$$3a_1 + 3r = 12$$
$$a_1 + r = 4 \quad \text{...(3)}$$

Z równania (3) wyrażamy \(r\):
$$r = 4 - a_1$$

**Krok 3: Podstawienie do równania (1)**

$$2a_1 + r = \frac{11}{2}$$
$$2a_1 + (4 - a_1) = \frac{11}{2}$$
$$a_1 + 4 = \frac{11}{2}$$
$$a_1 = \frac{11}{2} - 4$$
$$a_1 = \frac{11}{2} - \frac{8}{2}$$
$$a_1 = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$$

**Sprawdzenie:**
- \(a_1 = \frac{3}{2}\)
- \(r = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}\)
- \(a_2 = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 4\)
- \(a_3 = \frac{3}{2} + 2 \cdot \frac{5}{2} = \frac{3}{2} + 5 = \frac{13}{2}\)

Suma dwóch pierwszych: \(\frac{3}{2} + 4 = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2}\) ✓

Suma trzech pierwszych: \(\frac{3}{2} + 4 + \frac{13}{2} = \frac{16}{2} + 4 = 8 + 4 = 12\) ✓

**Odpowiedź: A**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2018