---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-13
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-13
source: Matura próbna Operon listopad 2018
category: Ciągi
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-13

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2018
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu \((4, 6, 9,...)\) można obliczyć ze wzoru:

## Odpowiedzi

- **A.** \( n(n+3) \)
- **B.** \( \frac{3n+5}{2}\cdot n \)
- **C.** \( 8\left[\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right] \)
- **D.** \( 2\left[\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right] \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Analizuje się ciąg \((4, 6, 9, ...)\)

**Krok 1: Sprawdzenie, czy to ciąg arytmetyczny**

Oblicza się różnice kolejnych wyrazów:
- \(a_2 - a_1 = 6 - 4 = 2\)
- \(a_3 - a_2 = 9 - 6 = 3\)

Różnice nie są stałe, więc to **nie jest ciąg arytmetyczny**.

**Krok 2: Sprawdzenie, czy to ciąg geometryczny**

Oblicza się ilorazy kolejnych wyrazów:
- \(\frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\)
- \(\frac{a_3}{a_2} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\)

Ilorazy są stałe! To **ciąg geometryczny** z:
- pierwszym wyrazem: \(a_1 = 4\)
- ilorazem: \(q = \frac{3}{2}\)

**Krok 3: Wzór na sumę ciągu geometrycznego**

Dla ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q \neq 1\), suma \(n\) początkowych wyrazów wynosi:

$$S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$$

**Krok 4: Podstawienie wartości**

Podstawia się \(a_1 = 4\), \(q = \frac{3}{2}\):

$$S_n = 4 \cdot \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^n - 1}{\frac{3}{2} - 1}$$

$$S_n = 4 \cdot \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^n - 1}{\frac{1}{2}}$$

$$S_n = 4 \cdot 2 \cdot \left[\left(\frac{3}{2}\right)^n - 1\right]$$

$$S_n = 8\left[\left(\frac{3}{2}\right)^n - 1\right]$$

**Weryfikacja** (dla \(n=2\)):
- Bezpośrednio: \(S_2 = 4 + 6 = 10\)
- Ze wzoru: \(S_2 = 8\left[\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 1\right] = 8\left[\frac{9}{4} - 1\right] = 8 \cdot \frac{5}{4} = 10\) ✓

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2018