---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-32
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-32
source: Matura próbna Operon listopad 2017
category: Stereometria
points: 6
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-32

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2017
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 6
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o dolnej podstawie \(ABC\) i górnej \(A'B'C'\). Przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt \(60^\circ \). Pole ściany bocznej graniastosłupa jest równe \(2\sqrt{3}\). Oblicz pole trójkąta \(ABC'\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{15}}{2}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-32.png]

Oznaczmy długość krawędzi podstawy jako \(a\), a wysokość graniastosłupa jako \(h\).

## Krok 2: Analiza kąta między przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy

Ściana boczna graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest prostokątem o wymiarach \(a \times h\).

Przekątna ściany bocznej ma długość \(\sqrt{a^2 + h^2}\).

Kąt między przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy wynosi \(60°\). Z definicji tangensa:

$$\tan 60° = \frac{h}{a}$$

$$\sqrt{3} = \frac{h}{a}$$

$$h = a\sqrt{3}$$

## Krok 3: Wykorzystanie pola ściany bocznej

Pole ściany bocznej (prostokąta) wynosi:

$$P_{\text{bocznej}} = a \cdot h = 2\sqrt{3}$$

Podstawiając \(h = a\sqrt{3}\):

$$a \cdot a\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$

$$a^2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$

$$a^2 = 2$$

$$a = \sqrt{2}$$

Stąd:

$$h = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$$

## Krok 4: Wyznaczenie wierzchołków trójkąta \(ABC'\)

Przyjmijmy układ współrzędnych:
- \(A = (0, 0, 0)\)
- \(B = (\sqrt{2}, 0, 0)\)
- \(C' = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{6}\right)\) (górny wierzchołek odpowiadający \(C\))

Punkt \(C'\) znajduje się w odległości \(\frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\) od krawędzi \(AB\) (wysokość trójkąta równobocznego to \(\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}\), a środek masy to \(\frac{2}{3}\) wysokości).

Poprawnie: \(C' = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{6}\right)\)

## Krok 5: Obliczenie pola trójkąta \(ABC'\)

Wektory:
$$\vec{AB} = (\sqrt{2}, 0, 0)$$

$$\vec{AC'} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{6}\right)$$

Iloczyn wektorowy:

$$\vec{AB} \times \vec{AC'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \sqrt{2} & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{6}}{2} & \sqrt{6} \end{vmatrix}$$

$$= \vec{i}(0 \cdot \sqrt{6} - 0 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}) - \vec{j}(\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} - 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \vec{k}(\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} - 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$$

$$= (0, -\sqrt{12}, \frac{\sqrt{12}}{2}) = (0, -2\sqrt{3}, \sqrt{3})$$

Długość tego wektora:

$$|\vec{AB} \times \vec{AC'}| = \sqrt{0^2 + (-2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12 + 3} = \sqrt{15}$$

Pole trójkąta:

$$P_{ABC'} = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC'}| = \frac{\sqrt{15}}{2}$$

**Odpowiedź: \(\frac{\sqrt{15}}{2}\)**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2017