---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-31
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-31
source: Matura próbna Operon listopad 2017
category: Geometria analityczna
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-31

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2017
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dane są punkty \(A=(4,2)\) i \(B=(1,-3)\). Wyznacz współrzędne punktu \(C\) należącego do osi \(OY\), tak aby \(|\sphericalangle ACB|=90^\circ \).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(C=(0,-2)\) lub \(C=(0,1)\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Szukamy punktu \(C\) na osi \(OY\), więc \(C = (0, y)\) dla pewnego \(y \in \mathbb{R}\).

Warunek \(|\angle ACB| = 90°\) oznacza, że wektory \(\vec{CA}\) i \(\vec{CB}\) są prostopadłe.

## Krok 1: Wyznaczenie wektorów

$$\vec{CA} = A - C = (4, 2) - (0, y) = (4, 2-y)$$

$$\vec{CB} = B - C = (1, -3) - (0, y) = (1, -3-y)$$

## Krok 2: Warunek prostopadłości

Wektory są prostopadłe, gdy ich iloczyn skalarny równa się zero:

$$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0$$

$$4 \cdot 1 + (2-y) \cdot (-3-y) = 0$$

## Krok 3: Rozwiązanie równania

$$4 + (2-y)(-3-y) = 0$$

Rozwijamy nawias:

$$4 + (2)(-3) + (2)(-y) + (-y)(-3) + (-y)(-y) = 0$$

$$4 - 6 - 2y + 3y + y^2 = 0$$

$$y^2 + y - 2 = 0$$

## Krok 4: Rozwiązanie równania kwadratowego

Szukamy rozkładu: \(y^2 + y - 2 = (y+2)(y-1) = 0\)

Stąd:
$$y = -2 \quad \text{lub} \quad y = 1$$

## Krok 5: Odpowiedź

Punkt \(C\) ma współrzędne:

$$C = (0, -2) \quad \text{lub} \quad C = (0, 1)$$

**Weryfikacja** dla \(C = (0, -2)\):
- \(\vec{CA} = (4, 4)\), \(\vec{CB} = (1, -1)\)
- \(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 4 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) = 4 - 4 = 0\) ✓

**Weryfikacja** dla \(C = (0, 1)\):
- \(\vec{CA} = (4, 1)\), \(\vec{CB} = (1, -4)\)
- \(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 4 \cdot 1 + 1 \cdot (-4) = 4 - 4 = 0\) ✓

**Odpowiedź:** \(C = (0, -2)\) lub \(C = (0, 1)\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2017