---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-30
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-30
source: Matura próbna Operon listopad 2017
category: Planimetria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-30

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2017
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wyznacz długość boku kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku \(a\) w ten sposób, że jeden bok kwadratu jest zawarty w boku trójkąta, a dwa wierzchołki kwadratu należą do pozostałych boków trójkąta.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(a(2\sqrt{3}-3)\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-30.png]

Oznaczmy długość boku kwadratu przez \(x\).

## Układ współrzędnych

Umieśćmy trójkąt równoboczny w układzie współrzędnych tak, że:
- podstawa leży na osi \(Ox\), od punktu \((0, 0)\) do \((a, 0)\)
- trzeci wierzchołek ma współrzędne \(\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)

Wysokość trójkąta równobocznego wynosi \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).

## Pozycja kwadratu

Kwadrat ma:
- jeden bok na podstawie trójkąta (na osi \(Ox\))
- bok długości \(x\)
- wysokość \(x\)

Ze względu na symetrię, kwadrat jest wyśrodkowany. Jego dolne wierzchołki to:
$$\left(\frac{a-x}{2}, 0\right) \quad \text{i} \quad \left(\frac{a+x}{2}, 0\right)$$

Górne wierzchołki kwadratu to:
$$\left(\frac{a-x}{2}, x\right) \quad \text{i} \quad \left(\frac{a+x}{2}, x\right)$$

## Równanie boku trójkąta

Lewy bok trójkąta łączy punkty \((0, 0)\) i \(\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\).

Równanie tej prostej:
$$\frac{y-0}{x-0} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2} - 0}{\frac{a}{2} - 0} = \sqrt{3}$$

Zatem: \(y = \sqrt{3}x\)

## Warunek przynależności wierzchołka

Lewy górny wierzchołek kwadratu \(\left(\frac{a-x}{2}, x\right)\) musi leżeć na lewym boku trójkąta.

Podstawiamy do równania prostej:
$$x = \sqrt{3} \cdot \frac{a-x}{2}$$

$$x = \frac{\sqrt{3}(a-x)}{2}$$

$$2x = \sqrt{3}a - \sqrt{3}x$$

$$2x + \sqrt{3}x = \sqrt{3}a$$

$$x(2 + \sqrt{3}) = \sqrt{3}a$$

$$x = \frac{\sqrt{3}a}{2 + \sqrt{3}}$$

## Racjonalizacja mianownika

Mnożymy licznik i mianownik przez \(2 - \sqrt{3}\):

$$x = \frac{\sqrt{3}a(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}a(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = \sqrt{3}a(2 - \sqrt{3})$$

$$x = 2\sqrt{3}a - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot a = 2\sqrt{3}a - 3a$$

$$x = a(2\sqrt{3} - 3)$$

## Odpowiedź

Długość boku kwadratu wynosi \(\boxed{a(2\sqrt{3} - 3)}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2017