---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-29
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-29
source: Matura próbna Operon listopad 2017
category: Prawdopodobieństwo
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-29

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2017
**Kategoria:** Prawdopodobieństwo
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rzucono trzy razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że suma wyrzuconych oczek jest równa co najmniej \(16\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{5}{108}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Trzeba znaleźć prawdopodobieństwo, że suma trzech rzutów kostką wynosi co najmniej 16.

## Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przy trzech rzutach kostką mamy:
$$|\Omega| = 6^3 = 216$$

## Zdarzenie sprzyjające

Suma trzech liczb z przedziału [1,6] wynosi co najmniej 16, czyli może być równa: 16, 17 lub 18.

**Maksymalna możliwa suma:** \(6 + 6 + 6 = 18\)

**Minimalna suma dla "co najmniej 16":** 16

## Zliczanie przypadków dla każdej sumy

### Suma = 18
Jedyny sposób: \((6, 6, 6)\)

Liczba przypadków: **1**

### Suma = 17
Trzeba znaleźć wszystkie trójki \((a, b, c)\) gdzie \(a, b, c \in \{1,2,3,4,5,6\}\) i \(a + b + c = 17\).

Aby suma trzech liczb z [1,6] dała 17, trzeba wziąć:
- Dwie szóstki i jedną piątkę: \((6, 6, 5)\)

Permutacje trójki \((6, 6, 5)\):
$$\frac{3!}{2!} = 3$$

przypadki: \((6,6,5), (6,5,6), (5,6,6)\)

Liczba przypadków: **3**

### Suma = 16
Trzeba znaleźć trójki sumujące się do 16.

Możliwości:
- Trzy szóstki minus 2: \((6, 6, 4)\)
- Dwie szóstki i jedna piątka minus 1: \((6, 5, 5)\)

**Dla \((6, 6, 4)\):**
Permutacje: \(\frac{3!}{2!} = 3\)

**Dla \((6, 5, 5)\):**
Permutacje: \(\frac{3!}{2!} = 3\)

Liczba przypadków: \(3 + 3 = \textbf{6}\)

## Całkowita liczba przypadków sprzyjających

$$|A| = 1 + 3 + 6 = 10$$

## Prawdopodobieństwo

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{10}{216} = \frac{5}{108}$$

**Odpowiedź:** \(\frac{5}{108}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/prawdopodobienstwo
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2017