---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-28
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-28
source: Matura próbna Operon listopad 2017
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-28

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2017
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że jeśli liczby \((3^a,3^b,3^c)\) tworzą ciąg geometryczny, to liczby \((a,b,c)\) tworzą ciąg arytmetyczny.

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Założenie

Liczby \(3^a, 3^b, 3^c\) tworzą ciąg geometryczny.

## Warunek ciągu geometrycznego

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:

$$(3^b)^2 = 3^a \cdot 3^c$$

## Przekształcenie równania

Lewą stronę przekształcamy, stosując właścność potęg \((x^m)^n = x^{m \cdot n}\):

$$3^{2b} = 3^a \cdot 3^c$$

Prawą stronę przekształcamy, stosując właścność potęg \(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\):

$$3^{2b} = 3^{a+c}$$

## Porównanie wykładników

Ponieważ funkcja wykładnicza o podstawie 3 jest różnowartościowa (jest rosnąca), równość potęg o tej samej podstawie zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy równe są wykładniki:

$$2b = a + c$$

## Warunek ciągu arytmetycznego

Przekształcamy otrzymane równanie:

$$2b = a + c$$

$$b - a = c - b$$

To jest właśnie warunek na ciąg arytmetyczny: różnica między drugim a pierwszym wyrazem jest równa różnicy między trzecim a drugim wyrazem. Równoważnie możemy zapisać:

$$a + c = 2b$$

co oznacza, że środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.

## Wniosek

Udowodniliśmy, że jeśli liczby \(3^a, 3^b, 3^c\) tworzą ciąg geometryczny, to liczby \(a, b, c\) tworzą ciąg arytmetyczny.

$$\boxed{\text{c.b.d.u.}}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2017