---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-26
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-26
source: Matura próbna Operon listopad 2017
category: Liczby rzeczywiste
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-26

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2017
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że jeśli liczba rzeczywista \(a\) spełnia warunek \(a\lt 1\), to \(\frac{1}{1-a}\ge 4a\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Musimy wykazać, że dla \(a  0\), więc wyrażenie \(\frac{1}{1-a}\) jest dobrze określone.

**Krok 2: Przekształcenie nierówności**

Nierówność \(\frac{1}{1-a} \ge 4a\) przekształcamy do postaci wygodnej do analizy.

$$\frac{1}{1-a} - 4a \ge 0$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

$$\frac{1 - 4a(1-a)}{1-a} \ge 0$$

$$\frac{1 - 4a + 4a^2}{1-a} \ge 0$$

$$\frac{4a^2 - 4a + 1}{1-a} \ge 0$$

**Krok 3: Analiza licznika**

Zauważmy, że licznik to:

$$4a^2 - 4a + 1 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = (2a - 1)^2$$

Zatem:

$$\frac{(2a-1)^2}{1-a} \ge 0$$

**Krok 4: Analiza znaku ułamka**

- **Licznik:** \((2a-1)^2 \ge 0\) dla każdego \(a \in \mathbb{R}\) (kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny)

- **Mianownik:** \(1 - a > 0\) dla \(a  0\)

to iloraz \(\frac{(2a-1)^2}{1-a} \ge 0\).

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \((2a-1)^2 = 0\), czyli \(a = \frac{1}{2}\).

**Podsumowanie:**

Dla \(a < 1\) nierówność \(\frac{1}{1-a} \ge 4a\) jest spełniona, co należało wykazać.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2017