---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-20
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-20
source: Matura próbna Operon listopad 2017
category: Ciągi
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-20

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2017
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem \(S_n=3n^2+4n\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy: \[a_5=?\]

## Odpowiedzi

- **A.** \( 45 \)
- **B.** \( 31 \)
- **C.** \( 21 \)
- **D.** \( 11 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Mamy wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów: \(S_n = 3n^2 + 4n\).

**Krok 1:** Wykorzystamy zależność między sumą a wyrazami ciągu.

Dla \(n \geq 2\) zachodzi:
$$a_n = S_n - S_{n-1}$$

**Krok 2:** Obliczamy \(S_5\) (suma 5 pierwszych wyrazów).

$$S_5 = 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 = 3 \cdot 25 + 20 = 75 + 20 = 95$$

**Krok 3:** Obliczamy \(S_4\) (suma 4 pierwszych wyrazów).

$$S_4 = 3 \cdot 4^2 + 4 \cdot 4 = 3 \cdot 16 + 16 = 48 + 16 = 64$$

**Krok 4:** Obliczamy piąty wyraz ciągu.

$$a_5 = S_5 - S_4 = 95 - 64 = 31$$

**Sprawdzenie:** Możemy zweryfikować, że to rzeczywiście ciąg arytmetyczny.
- \(a_1 = S_1 = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 7\)
- \(a_2 = S_2 - S_1 = (12 + 8) - 7 = 13\)
- \(a_3 = S_3 - S_2 = (27 + 12) - 20 = 19\)

Różnica: \(r = 13 - 7 = 6\), więc \(a_5 = 7 + 4 \cdot 6 = 31\) ✓

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2017