---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-17
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-17
source: Matura próbna Operon listopad 2017
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-17

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2017
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości \(4\) i \(6\) . Pole tego trójkąta jest równe \(3\sqrt{15}\). Oznacza to, że jeśli kąt między bokami o długościach \(4\) i \(6\) ma miarę \(\alpha \gt 90^\circ \), to:

## Odpowiedzi

- **A.** \( \cos \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4} \)
- **B.** \( \cos \alpha =\frac{1}{4} \)
- **C.** \( \cos \alpha =-\frac{\sqrt{15}}{4} \)
- **D.** \( \cos \alpha =-\frac{1}{4} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-17.png]

Dane:
- Boki trójkąta: \(a = 4\) i \(b = 6\)
- Pole trójkąta: \(P = 3\sqrt{15}\)
- Kąt \(\alpha\) między tymi bokami, \(\alpha > 90°\)

**Krok 2: Wykorzystanie wzoru na pole trójkąta**

Pole trójkąta można wyrazić wzorem:
$$P = \frac{1}{2}ab\sin\alpha$$

Podstawiamy dane:
$$3\sqrt{15} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin\alpha$$

$$3\sqrt{15} = 12\sin\alpha$$

$$\sin\alpha = \frac{3\sqrt{15}}{12} = \frac{\sqrt{15}}{4}$$

**Krok 3: Znajdowanie \(\cos\alpha\) z jedynki trygonometrycznej**

Korzystamy z tożsamości:
$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

$$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2$$

$$\cos^2\alpha = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$$

$$\cos\alpha = \pm\frac{1}{4}$$

**Krok 4: Wybór właściwego znaku**

Z warunku zadania wiemy, że \(\alpha > 90°\), czyli kąt jest rozwarty.

Dla kąta rozwartego (z II ćwiartki układu współrzędnych):
- \(\sin\alpha > 0\) ✓ (co zgadza się z \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} > 0\))
- \(\cos\alpha < 0\)

Dlatego:
$$\cos\alpha = -\frac{1}{4}$$

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2017