---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-14
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-14
source: Matura próbna Operon listopad 2017
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-14

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2017
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W trójkącie prostokątnym \(ABC\) przyprostokątne różnią się o \(4\), a jeden z kątów ma miarę \(30^\circ \). Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość:

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \)
- **B.** \( \frac{2\sqrt{3}}{6} \)
- **C.** \( 2\sqrt{3}-2 \)
- **D.** \( 2\sqrt{3}+2 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-14.png]

Oznaczmy krótszą przyprostokątną przez \(a\), a dłuższą przez \(b\).

**Dane:**
- Przyprostokątne różnią się o 4: \(b = a + 4\)
- Jeden z kątów ostrych ma miarę \(30°\)

**Krok 2: Ustalenie konfiguracji kątów**

W trójkącie prostokątnym z kątem prostym \(90°\) i kątem ostrym \(30°\), trzeci kąt ma miarę:
$$90° + 30° + \alpha = 180° \implies \alpha = 60°$$

**Krok 3: Relacje w trójkącie 30-60-90**

Krótsza przyprostokątna leży naprzeciwko mniejszego kąta ostrego (\(30°\)), dłuższa naprzeciwko większego (\(60°\)).

Wykorzystamy tangens:
$$\tan(30°) = \frac{a}{b}$$

Wiemy, że \(\tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}\), więc:
$$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{b}$$

**Krok 4: Podstawienie \(b = a + 4\)**

$$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{a + 4}$$

Mnożymy obie strony przez \(3(a + 4)\):
$$\sqrt{3}(a + 4) = 3a$$

$$\sqrt{3} \cdot a + 4\sqrt{3} = 3a$$

$$4\sqrt{3} = 3a - \sqrt{3} \cdot a$$

$$4\sqrt{3} = a(3 - \sqrt{3})$$

**Krok 5: Rozwiązanie równania**

$$a = \frac{4\sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$$

Mnożymy licznik i mianownik przez \(3 + \sqrt{3}\) (sprzężenie):
$$a = \frac{4\sqrt{3}(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}$$

$$a = \frac{4\sqrt{3} \cdot 3 + 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{9 - 3}$$

$$a = \frac{12\sqrt{3} + 4 \cdot 3}{6}$$

$$a = \frac{12\sqrt{3} + 12}{6}$$

$$a = \frac{12(\sqrt{3} + 1)}{6}$$

$$a = 2(\sqrt{3} + 1) = 2\sqrt{3} + 2$$

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2017