---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-09
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-09
source: Matura próbna Operon listopad 2017
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-09

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2017
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Punkty \(A,B,C,D\) należą do okręgu o środku \(O\). Jeśli kąt \(ABC\) ma miarę \(70^\circ \), to kąt \(DAC\) ma miarę:

## Odpowiedzi

- **A.** \( 70^\circ \)
- **B.** \( 50^\circ \)
- **C.** \( 40^\circ \)
- **D.** \( 20^\circ \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Odczytanie danych z rysunku.

Odcinki \(BC\) oraz \(AD\) przechodzą przez środek \(O\), więc obie te cięciwy są średnicami okręgu. Punkt \(O\) leży na odcinku \(BC\), zatem kąt \(ABC\) jest tym samym kątem co kąt \(ABO\):

$$|\sphericalangle ABO|=|\sphericalangle ABC|=70^\circ$$

Krok 2. Miara kąta środkowego \(AOB\).

Odcinki \(OA\) i \(OB\) są promieniami, więc trójkąt \(AOB\) jest równoramienny i kąty przy podstawie \(AB\) są równe:

$$|\sphericalangle OAB|=|\sphericalangle OBA|=70^\circ$$

Z sumy miar kątów w trójkącie:

$$|\sphericalangle AOB|=180^\circ-70^\circ-70^\circ=40^\circ$$

Krok 3. Miara kąta środkowego \(DOC\).

Kąty \(AOB\) i \(DOC\) są kątami wierzchołkowymi, bo powstają przez przecięcie średnic \(BC\) i \(AD\):

$$|\sphericalangle DOC|=|\sphericalangle AOB|=40^\circ$$

Krok 4. Miara kąta \(DAC\).

Kąt \(DAC\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \(DC\), a kąt \(DOC\) jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku. Kąt wpisany ma miarę dwa razy mniejszą:

$$|\sphericalangle DAC|=\frac{1}{2}\cdot|\sphericalangle DOC|=\frac{40^\circ}{2}=20^\circ$$

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2017