---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-08
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-08
source: Matura próbna Operon listopad 2017
category: Ciągi
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-08

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2017
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dany jest ciąg geometryczny o wyrazach różnych od \(0\). Suma siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa \(0\). Oznacza to, że suma tysiąca początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:

## Odpowiedzi

- **A.** \( 1000a_1 \)
- **B.** \( 1001a_1 \)
- **C.** \( 10 \)
- **D.** \( 0 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznaczmy pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jako \(a_1\), a iloraz jako \(q\).

**Krok 1: Zapisanie warunku z treści zadania**

Siódmy wyraz: \(a_7 = a_1 \cdot q^6\)

Ósmy wyraz: \(a_8 = a_1 \cdot q^7\)

Z treści zadania:
$$a_7 + a_8 = 0$$

**Krok 2: Rozwiązanie równania**

$$a_1 \cdot q^6 + a_1 \cdot q^7 = 0$$

Wyłączamy \(a_1 \cdot q^6\) przed nawias:
$$a_1 \cdot q^6(1 + q) = 0$$

Ponieważ \(a_1 \neq 0\) (wyrazy ciągu są różne od 0) i \(q^6 \neq 0\) (bo wtedy wszystkie wyrazy od 7. byłyby równe 0), musi zachodzić:
$$1 + q = 0$$
$$q = -1$$

**Krok 3: Obliczenie sumy 1000 początkowych wyrazów**

Dla ciągu geometrycznego o ilorazie \(q = -1\):

$$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n$$

Podstawiając wartości wyrazów:
- \(a_1 = a_1\)
- \(a_2 = a_1 \cdot (-1) = -a_1\)
- \(a_3 = a_1 \cdot (-1)^2 = a_1\)
- \(a_4 = a_1 \cdot (-1)^3 = -a_1\)
- itd.

Wyrazy grupują się w pary: \((a_1 - a_1) + (a_1 - a_1) + \ldots = 0 + 0 + \ldots\)

Ponieważ \(1000\) jest liczbą parzystą, mamy dokładnie \(500\) takich par:

$$S_{1000} = \underbrace{(a_1 - a_1)}_{=0} + \underbrace{(a_1 - a_1)}_{=0} + \ldots + \underbrace{(a_1 - a_1)}_{=0} = 0$$

Alternatywnie, ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego dla \(q \neq 1\):
$$S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} = a_1 \cdot \frac{1-(-1)^{1000}}{1-(-1)} = a_1 \cdot \frac{1-1}{2} = 0$$

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2017