---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-05
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-05
source: Matura próbna Operon listopad 2017
category: Ciągi
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-05

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2017
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dany jest ciąg \((a_n)\) o wyrazie ogólnym \(a_n=\frac{2n+1}{n+3}\). Liczby \(a_3,a_5\) są wyrazami tego ciągu, a liczby \((a_3,x,a_5)\) tworzą ciąg arytmetyczny. Liczba \(x\) jest równa:

## Odpowiedzi

- **A.** \( x=\frac{61}{48} \)
- **B.** \( x=\frac{61}{96} \)
- **C.** \( x=\frac{69}{96} \)
- **D.** \( x=\frac{69}{48} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oblicza się wyrazy \(a_3\) i \(a_5\) ciągu o wzorze ogólnym \(a_n=\frac{2n+1}{n+3}\).

**Krok 1: Wyznaczenie \(a_3\)**

$$a_3 = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3 + 3} = \frac{6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$$

**Krok 2: Wyznaczenie \(a_5\)**

$$a_5 = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5 + 3} = \frac{10 + 1}{8} = \frac{11}{8}$$

**Krok 3: Warunek ciągu arytmetycznego**

Jeśli liczby \(a_3, x, a_5\) tworzą ciąg arytmetyczny, to różnica między kolejnymi wyrazami musi być stała:

$$x - a_3 = a_5 - x$$

**Krok 4: Rozwiązanie równania**

$$x - a_3 = a_5 - x$$

$$2x = a_3 + a_5$$

$$x = \frac{a_3 + a_5}{2}$$

Podstawia się wartości:

$$x = \frac{\frac{7}{6} + \frac{11}{8}}{2}$$

**Krok 5: Dodawanie ułamków**

Sprowadza się do wspólnego mianownika (NWW(6,8) = 24):

$$\frac{7}{6} = \frac{7 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{28}{24}$$

$$\frac{11}{8} = \frac{11 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{33}{24}$$

$$\frac{7}{6} + \frac{11}{8} = \frac{28}{24} + \frac{33}{24} = \frac{61}{24}$$

**Krok 6: Obliczenie \(x\)**

$$x = \frac{\frac{61}{24}}{2} = \frac{61}{24} \cdot \frac{1}{2} = \frac{61}{48}$$

**Odpowiedź: A**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2017