---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-03
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-03
source: Matura próbna Operon listopad 2017
category: Liczby rzeczywiste
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-03

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2017
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Reszta z dzielenia liczby naturalnej \(x\) przez \(9\) jest równa \(7\). Reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez \(9\) jest równa:

## Odpowiedzi

- **A.** \( 2 \)
- **B.** \( 4 \)
- **C.** \( 6 \)
- **D.** \( 8 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Skoro reszta z dzielenia liczby \(x\) przez \(9\) jest równa \(7\), to możemy zapisać:

$$x = 9k + 7$$

gdzie \(k\) jest pewną liczbą całkowitą nieujemną.

Teraz obliczamy kwadrat tej liczby:

$$x^2 = (9k + 7)^2$$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\):

$$x^2 = (9k)^2 + 2 \cdot 9k \cdot 7 + 7^2$$

$$x^2 = 81k^2 + 126k + 49$$

Szukamy reszty z dzielenia \(x^2\) przez \(9\). Rozłóżmy każdy składnik:

- \(81k^2 = 9 \cdot 9k^2\) — ten wyraz dzieli się przez \(9\), daje resztę \(0\)
- \(126k = 9 \cdot 14k\) — ten wyraz również dzieli się przez \(9\), daje resztę \(0\)
- \(49 = 9 \cdot 5 + 4\) — ten wyraz daje resztę \(4\)

Zatem:

$$x^2 = 9(9k^2 + 14k + 5) + 4$$

Reszta z dzielenia \(x^2\) przez \(9\) wynosi \(4\).

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2017