---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-02
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-02
source: Matura próbna Operon listopad 2017
category: Potęgi i pierwiastki
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2017-02

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2017
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Liczba \(a=\frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{2}-3}\) należy do przedziału:

## Odpowiedzi

- **A.** \( (-\infty ,-13) \)
- **B.** \( \langle -13,-12) \)
- **C.** \( (12,13\rangle \)
- **D.** \( (13,+\infty ) \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Trzeba obliczyć wartość wyrażenia \(a=\frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{2}-3}\) i określić, do którego przedziału należy.

## Krok 1: Usunięcie niewymierności z mianownika

Mnoży się licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika, czyli przez \(\sqrt{2}+3\):

$$a = \frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{2}-3} \cdot \frac{\sqrt{2}+3}{\sqrt{2}+3}$$

## Krok 2: Obliczenie mianownika

Wykorzystuje się wzór skróconego mnożenia \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\):

$$(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}+3) = (\sqrt{2})^2 - 3^2 = 2 - 9 = -7$$

## Krok 3: Obliczenie licznika

$$14\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2}+3) = 14\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 14\sqrt{2} \cdot 3$$

$$= 14 \cdot 2 + 42\sqrt{2} = 28 + 42\sqrt{2}$$

## Krok 4: Uproszczenie ułamka

$$a = \frac{28 + 42\sqrt{2}}{-7} = \frac{28}{-7} + \frac{42\sqrt{2}}{-7}$$

$$a = -4 - 6\sqrt{2}$$

## Krok 5: Określenie wartości liczbowej

Wiadomo, że \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\), więc:

$$a = -4 - 6\sqrt{2} \approx -4 - 6 \cdot 1{,}414 = -4 - 8{,}484 = -12{,}484$$

## Krok 6: Dokładniejsze oszacowanie

Aby dokładnie określić przedział, sprawdza się:
- Czy \(a \geq -13\)?
- Czy \(a  8 \iff \sqrt{2} > \frac{4}{3} \approx 1{,}333$$

To jest prawda, bo \(\sqrt{2} \approx 1{,}414 > 1{,}333\).

Zatem \(-13 \leq a < -12\).

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2017