---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-33
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-33
source: Matura próbna Operon listopad 2013
category: Równania i nierówności
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-33

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2013
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Ojciec i syn zbierają jabłka. Razem zebranie wszystkich jabłek zajęło im \(6\) godzin. Gdyby ojciec zbierał jabłka sam, to zajęłoby mu to o \(5\) godzin mniej, niż gdyby zbierał je sam jego syn. W jakim czasie ojciec sam zebrałby wszystkie jabłka?

**Prawidłowa odpowiedź:** w \(10\) godzin

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznaczmy czas, w jakim ojciec sam zebrałby wszystkie jabłka jako \(x\) godzin.

**Krok 1: Określenie czasów pracy**

- Ojciec sam zebrałby jabłka w \(x\) godzin
- Syn sam zebrałby jabłka w \(x + 5\) godzin (bo zajęłoby mu to o 5 godzin więcej)

**Krok 2: Określenie wydajności pracy**

Jeśli przyjmiemy, że całość pracy to "1", to:
- Wydajność ojca: \(\frac{1}{x}\) pracy na godzinę
- Wydajność syna: \(\frac{1}{x+5}\) pracy na godzinę

**Krok 3: Wydajność wspólnej pracy**

Pracując razem, ich wydajności się sumują:

$$\text{Wydajność wspólna} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}$$

**Krok 4: Równanie na podstawie czasu wspólnej pracy**

Razem zebrali wszystkie jabłka w 6 godzin, więc:

$$6 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}\right) = 1$$

**Krok 5: Rozwiązanie równania**

$$\frac{6}{x} + \frac{6}{x+5} = 1$$

Mnożymy obie strony przez \(x(x+5)\):

$$6(x+5) + 6x = x(x+5)$$

$$6x + 30 + 6x = x^2 + 5x$$

$$12x + 30 = x^2 + 5x$$

$$0 = x^2 - 7x - 30$$

**Krok 6: Rozwiązanie równania kwadratowego**

$$x^2 - 7x - 30 = 0$$

Obliczamy deltę:
$$\Delta = 49 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$$

$$\sqrt{\Delta} = 13$$

$$x = \frac{7 \pm 13}{2}$$

Otrzymujemy dwa rozwiązania:
- \(x_1 = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10\)
- \(x_2 = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)

**Krok 7: Wybór odpowiedzi**

Czas nie może być ujemny, więc \(x = 10\).

**Sprawdzenie:**
- Ojciec zbiera sam w 10 godzin, syn w 15 godzin
- Wspólna wydajność: \(\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3+2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}\) pracy na godzinę
- Czas wspólnej pracy: \(6\) godzin ✓

**Odpowiedź: Ojciec sam zebrałby wszystkie jabłka w 10 godzin.**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2013