---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-32
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-32
source: Matura próbna Operon listopad 2013
category: Stereometria
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-32

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2013
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość graniastosłupa jest o \(4\) krótsza od przekątnej podstawy i o \(8\) krótsza od przekątnej graniastosłupa. Oblicz sinus kąta pomiędzy przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\sin \alpha =\frac{3}{5}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-32.png]

Oznaczmy dane wielkości:
- \(a\) – krawędź podstawy (kwadrat)
- \(H\) – wysokość graniastosłupa
- \(d_p\) – przekątna podstawy
- \(d_g\) – przekątna graniastosłupa

## Krok 2: Wyznaczenie przekątnej podstawy

Podstawa to kwadrat o boku \(a\), więc:
$$d_p = a\sqrt{2}$$

## Krok 3: Wyznaczenie przekątnej graniastosłupa

Przekątna graniastosłupa łączy przeciwległe wierzchołki dolnej i górnej podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa:
$$d_g = \sqrt{d_p^2 + H^2} = \sqrt{2a^2 + H^2}$$

## Krok 4: Zapisanie warunków z treści zadania

Z treści mamy:
- Wysokość jest o 4 krótsza od przekątnej podstawy:
$$H = d_p - 4$$

- Wysokość jest o 8 krótsza od przekątnej graniastosłupa:
$$H = d_g - 8$$

## Krok 5: Rozwiązanie układu równań

Z pierwszego warunku:
$$H = a\sqrt{2} - 4$$

Z drugiego warunku:
$$H = d_g - 8$$

Zatem:
$$d_g = H + 8 = a\sqrt{2} - 4 + 8 = a\sqrt{2} + 4$$

Ale też wiemy, że:
$$d_g^2 = 2a^2 + H^2$$

Podstawiamy:
$$(a\sqrt{2} + 4)^2 = 2a^2 + (a\sqrt{2} - 4)^2$$

$$2a^2 + 8a\sqrt{2} + 16 = 2a^2 + 2a^2 - 8a\sqrt{2} + 16$$

$$2a^2 + 8a\sqrt{2} + 16 = 4a^2 - 8a\sqrt{2} + 16$$

$$8a\sqrt{2} = 2a^2 - 8a\sqrt{2}$$

$$16a\sqrt{2} = 2a^2$$

$$8\sqrt{2}a = a^2$$

$$a = 8\sqrt{2}$$

## Krok 6: Obliczenie wysokości i przekątnej graniastosłupa

$$H = a\sqrt{2} - 4 = 8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 4 = 16 - 4 = 12$$

$$d_g = H + 8 = 12 + 8 = 20$$

## Krok 7: Obliczenie sinusa kąta

Kąt \(\alpha\) między przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy to kąt między \(d_g\) a \(d_p\).

W trójkącie prostokątnym utworzonym przez przekątną graniastosłupa, przekątną podstawy i wysokość graniastosłupa:

$$\sin \alpha = \frac{H}{d_g} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

**Odpowiedź:** $$\sin \alpha = \frac{3}{5}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2013