---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-31
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-31
source: Matura próbna Operon listopad 2013
category: Ciągi
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-31

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2013
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Uczeń przygotowujący się do matury w ciągu pierwszego tygodnia rozwiązał \(5\) zadań. Postanowił jednak, że w każdym następnym tygodniu będzie rozwiązywał o \(2\) zadania więcej niż w poprzednim tygodniu. W którym tygodniu liczba zadań rozwiązanych przez niego od początku nauki przekroczy \(480\)?

**Prawidłowa odpowiedź:** \(21\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Analizuje się problem dotyczący ciągu arytmetycznego.

## Dane z zadania

- Pierwszy tydzień: \(a_1 = 5\) zadań
- Każdy następny tydzień o \(2\) zadania więcej: \(r = 2\)
- Szukamy tygodnia \(n\), w którym suma wszystkich rozwiązanych zadań przekroczy \(480\)

## Ustalenie wzoru

Liczba zadań w kolejnych tygodniach tworzy ciąg arytmetyczny:
$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot r = 5 + (n-1) \cdot 2 = 5 + 2n - 2 = 3 + 2n$$

## Suma zadań po n tygodniach

Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

Podstawia się:
$$S_n = \frac{n(5 + 3 + 2n)}{2} = \frac{n(8 + 2n)}{2} = \frac{2n(4 + n)}{2} = n(4 + n) = n^2 + 4n$$

## Rozwiązanie nierówności

Szuka się najmniejszego \(n\), dla którego:
$$S_n > 480$$

$$n^2 + 4n > 480$$

$$n^2 + 4n - 480 > 0$$

Rozwiązuje się równanie kwadratowe \(n^2 + 4n - 480 = 0\):

$$\Delta = 16 + 4 \cdot 480 = 16 + 1920 = 1936$$

$$\sqrt{\Delta} = \sqrt{1936} = 44$$

$$n = \frac{-4 \pm 44}{2}$$

$$n_1 = \frac{-4 + 44}{2} = \frac{40}{2} = 20 \quad \text{lub} \quad n_2 = \frac{-4 - 44}{2} = -24$$

Ponieważ \(n > 0\), rozważam tylko \(n_1 = 20\).

## Sprawdzenie

Dla \(n = 20\):
$$S_{20} = 20^2 + 4 \cdot 20 = 400 + 80 = 480$$

Dla \(n = 21\):
$$S_{21} = 21^2 + 4 \cdot 21 = 441 + 84 = 525$$

## Wniosek

Po \(20\) tygodniach uczeń rozwiąże dokładnie \(480\) zadań.

W **21. tygodniu** liczba rozwiązanych zadań po raz pierwszy przekroczy \(480\) (wyniesie \(525\)).

**Odpowiedź: 21**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2013