---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-30
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-30
source: Matura próbna Operon listopad 2013
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-30

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2013
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt \(ABC\), gdzie \(A=(-3,-2)\), \(B=(1,-1)\), \(C=(-1,4)\). Wyznacz równanie symetralnej boku \(AC\) tego trójkąta.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-30.png]

Wyznacza się równanie symetralnej boku \(AC\).

**Krok 2: Znajdowanie środka odcinka \(AC\)**

Środek odcinka \(AC\) to punkt \(S\), którego współrzędne oblicza się ze wzoru:

$$S = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right)$$

$$S = \left(\frac{-3 + (-1)}{2}, \frac{-2 + 4}{2}\right) = \left(\frac{-4}{2}, \frac{2}{2}\right) = (-2, 1)$$

**Krok 3: Wyznaczanie współczynnika kierunkowego boku \(AC\)**

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(C\):

$$a_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{4 - (-2)}{-1 - (-3)} = \frac{6}{2} = 3$$

**Krok 4: Wyznaczanie współczynnika kierunkowego symetralnej**

Symetralna jest prostopadła do boku \(AC\). Dla prostych prostopadłych zachodzi warunek:

$$a_{sym} \cdot a_{AC} = -1$$

$$a_{sym} \cdot 3 = -1$$

$$a_{sym} = -\frac{1}{3}$$

**Krok 5: Zapisanie równania symetralnej**

Symetralna przechodzi przez punkt \(S = (-2, 1)\) i ma współczynnik kierunkowy \(a = -\frac{1}{3}\).

Używa się wzoru \(y - y_0 = a(x - x_0)\):

$$y - 1 = -\frac{1}{3}(x - (-2))$$

$$y - 1 = -\frac{1}{3}(x + 2)$$

$$y - 1 = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$$

$$y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3} + 1$$

$$y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$$

**Odpowiedź:** $$y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2013