---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-29
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-29
source: Matura próbna Operon listopad 2013
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-29

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2013
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dwa okręgi są styczne zewnętrznie. Odległość ich środków jest równa \(8\) cm. Gdyby te okręgi były styczne wewnętrznie, to odległość ich środków byłaby równa \(2\) cm. Oblicz długości promieni tych okręgów.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(r_1=5\), \(r_2=3\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-29.png]

Oznaczmy promienie dwóch okręgów przez \(r_1\) i \(r_2\), gdzie \(r_1 > r_2\).

## Warunek dla okręgów stycznych zewnętrznie

Gdy dwa okręgi są styczne zewnętrznie, odległość ich środków jest równa sumie promieni:

$$d_1 = r_1 + r_2$$

Z treści zadania wiemy, że \(d_1 = 8\) cm, zatem:

$$r_1 + r_2 = 8$$

## Warunek dla okręgów stycznych wewnętrznie

Gdy dwa okręgi są styczne wewnętrznie (jeden okrąg jest wewnątrz drugiego), odległość ich środków jest równa różnicy promieni:

$$d_2 = r_1 - r_2$$

Z treści zadania wiemy, że \(d_2 = 2\) cm, zatem:

$$r_1 - r_2 = 2$$

## Rozwiązanie układu równań

Mamy układ dwóch równań:

$$\begin{cases}
r_1 + r_2 = 8 \\
r_1 - r_2 = 2
\end{cases}$$

Dodajemy równania stronami:

$$(r_1 + r_2) + (r_1 - r_2) = 8 + 2$$

$$2r_1 = 10$$

$$r_1 = 5 \text{ cm}$$

Podstawiamy \(r_1 = 5\) do pierwszego równania:

$$5 + r_2 = 8$$

$$r_2 = 3 \text{ cm}$$

## Sprawdzenie

- Styczne zewnętrznie: \(r_1 + r_2 = 5 + 3 = 8\) ✓
- Styczne wewnętrznie: \(r_1 - r_2 = 5 - 3 = 2\) ✓

**Odpowiedź:** Promienie okręgów wynoszą \(r_1 = 5\) cm i \(r_2 = 3\) cm.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2013