---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-28
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-28
source: Matura próbna Operon listopad 2013
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-28

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2013
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Maszt telekomunikacyjny rzuca cień, który jest \(2\) razy krótszy niż wysokość masztu. Oblicz cosinus kąta, pod jakim padają promienie słoneczne.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-28.png]

Oznaczmy:
- \(h\) – wysokość masztu
- \(d\) – długość cienia
- \(\alpha\) – kąt padania promieni słonecznych (kąt między promieniem a poziomem)

## Analiza sytuacji

Z treści zadania wiemy, że cień jest 2 razy krótszy niż wysokość masztu:
$$d = \frac{h}{2}$$

## Rysunek sytuacji

Promienie słoneczne, maszt i cień tworzą trójkąt prostokątny, gdzie:
- przyprostokątna pionowa (maszt) ma długość \(h\)
- przyprostokątna pozioma (cień) ma długość \(d = \frac{h}{2}\)
- kąt \(\alpha\) jest przy podstawie cienia (między promieniem słonecznym a poziomem)

## Obliczenie cosinusa

W trójkącie prostokątnym:
$$\tan \alpha = \frac{h}{d} = \frac{h}{\frac{h}{2}} = 2$$

Aby obliczyć \(\cos \alpha\), wykorzystamy tożsamość trygonometryczną:
$$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

Podstawiamy \(\tan \alpha = 2\):
$$1 + 2^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

$$1 + 4 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

$$5 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

$$\cos^2 \alpha = \frac{1}{5}$$

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym (promienie padają z góry), to \(\cos \alpha > 0\):
$$\cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

## Odpowiedź

$$\cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2013