---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-27
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-27
source: Matura próbna Operon listopad 2013
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-27

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2013
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że trapez, w którym przekątne dzielą kąty przy dłuższej podstawie na połowy, jest równoramienny.

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-27.png]

# Dowód

Rozważmy trapez ABCD, gdzie AB || CD, przy czym AB jest dłuższą podstawą.

Załóżmy, że przekątne AC i BD dzielą kąty przy podstawie AB na połowy, tzn.:
- $$\angle CAB = \angle CAD$$
- $$\angle DBA = \angle DBC$$

Oznaczmy punkt przecięcia przekątnych jako P.

## Krok 2: Analiza kątów przy wierzchołku A

Ponieważ AC dzieli kąt DAB na połowy:
$$\angle CAB = \angle CAD$$

Z równoległości AB || CD wynika, że:
$$\angle CAB = \angle ACD$$ (kąty naprzemianległe)

Zatem:
$$\angle CAD = \angle ACD$$

## Krok 3: Wniosek o trójkącie ACD

W trójkącie ACD mamy:
$$\angle CAD = \angle ACD$$

Trójkąt o dwóch równych kątach jest równoramienny, więc:
$$AD = CD$$

## Krok 4: Analiza kątów przy wierzchołku B

Analogicznie, ponieważ BD dzieli kąt ABC na połowy:
$$\angle DBA = \angle DBC$$

Z równoległości AB || CD:
$$\angle DBA = \angle BDC$$ (kąty naprzemianległe)

Zatem:
$$\angle DBC = \angle BDC$$

## Krok 5: Wniosek o trójkącie BCD

W trójkącie BCD mamy:
$$\angle DBC = \angle BDC$$

Trójkąt o dwóch równych kątach jest równoramienny, więc:
$$BC = CD$$

## Krok 6: Wniosek końcowy

Z kroków 2 i 4 otrzymujemy:
$$AD = CD = BC$$

Zatem:
$$AD = BC$$

Trapez, w którym ramiona są równej długości, jest **trapezem równoramiennym**.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2013