---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-22
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-22
source: Matura próbna Operon listopad 2013
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-22

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2013
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Punkty \(A=(-2,4)\) i \(C=(-6,2)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Zatem promień okręgu opisanego na tym kwadracie jest równy:

## Odpowiedzi

- **A.** \( 10 \)
- **B.** \( 2 \)
- **C.** \( \sqrt{5} \)
- **D.** \( \sqrt{10} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-22.png]

Szuka się promienia okręgu opisanego na kwadracie ABCD, znając przeciwległe wierzchołki A i C.

**Krok 2: Środek kwadratu**

Przekątne kwadratu przecinają się w jego środku, który jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego.

Środek S odcinka AC:
$$S = \left(\frac{-2 + (-6)}{2}, \frac{4 + 2}{2}\right) = \left(\frac{-8}{2}, \frac{6}{2}\right) = (-4, 3)$$

**Krok 3: Długość przekątnej**

Oblicza się odległość między punktami A i C (długość przekątnej kwadratu):
$$|AC| = \sqrt{(-6-(-2))^2 + (2-4)^2}$$
$$|AC| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2}$$
$$|AC| = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

**Krok 4: Promień okręgu opisanego**

Promień okręgu opisanego na kwadracie równa się połowie długości przekątnej (odległość od środka kwadratu do wierzchołka):

$$r = \frac{|AC|}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$$

**Sprawdzenie:** Można też obliczyć wprost odległość od środka S do wierzchołka A:
$$r = |SA| = \sqrt{(-2-(-4))^2 + (4-3)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$$

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2013