---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-20
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-20
source: Matura próbna Operon listopad 2013
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-20

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2013
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny jest równe \(\frac{16}{3}\pi \). Obwód tego trójkąta jest równy:

## Odpowiedzi

- **A.** \( 12\sqrt{3} \)
- **B.** \( 24 \)
- **C.** \( 12 \)
- **D.** \( 36 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-20.png]

Szuka się obwodu trójkąta równobocznego, znając pole wpisanego koła.

**Krok 2: Wyznacza się promień okręgu wpisanego**

Pole koła wpisanego:
$$P = \pi r^2 = \frac{16}{3}\pi$$

Dzieli się obie strony przez \(\pi\):
$$r^2 = \frac{16}{3}$$

$$r = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$

**Krok 3: Przypominam wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny**

Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\), promień okręgu wpisanego wynosi:
$$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

(Wzór wynika z faktu, że wysokość trójkąta to \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), a promień okręgu wpisanego to \(\frac{1}{3}\) wysokości)

**Krok 4: Wyznacza się długość boku trójkąta**

Podstawia się wartość \(r\):
$$\frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Mnoży się obie strony przez \(6\):
$$\frac{24\sqrt{3}}{3} = a\sqrt{3}$$

$$8\sqrt{3} = a\sqrt{3}$$

Dzieli się przez \(\sqrt{3}\):
$$a = 8$$

**Krok 5: Oblicza się obwód trójkąta**

Obwód trójkąta równobocznego:
$$O = 3a = 3 \cdot 8 = 24$$

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2013