---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-19
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-19
source: Matura próbna Operon listopad 2013
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-19

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2013
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Długość odcinka \(BD\) w trójkącie prostokątnym \(ABC\) jest równa:

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{9\sqrt{3}}{4} \)
- **B.** \( 4 \)
- **C.** \( 4\sqrt{3} \)
- **D.** \( 4\sqrt{2} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Z rysunku: trójkąt prostokątny \(BCA\) z kątem prostym przy \(C\), \(\angle B = 30°\), \(\angle A = 60°\) i \(|CA| = 4\). Punkt \(D\) leży na przeciwprostokątnej \(BA\), a \(\angle CDA = 60°\).

Krok 1. Obliczamy długość przeciwprostokątnej \(BA\).

W trójkącie prostokątnym \(BCA\) bok \(CA = 4\) leży naprzeciw kąta \(30°\), więc:

$$BA = \frac{CA}{\sin 30°} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$$

Krok 2. Analizujemy trójkąt \(CDA\).

W trójkącie \(CDA\) mamy: \(\angle A = 60°\), \(\angle CDA = 60°\), więc:

$$\angle DCA = 180° - 60° - 60° = 60°$$

Wszystkie kąty są równe \(60°\), więc trójkąt \(CDA\) jest równoboczny. Zatem:

$$DA = CA = 4$$

Krok 3. Obliczamy \(BD\).

$$BD = BA - DA = 8 - 4 = 4$$

**Odpowiedź: B) \(4\)**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2013