---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-18
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-18
source: Matura próbna Operon listopad 2013
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-18

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2013
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych jest równa \(7\), zaś długość przeciwprostokątnej jest równa \(8\). Zatem tangens mniejszego kąta ostrego w tym trójkącie jest równy:

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{15}{7} \)
- **B.** \( \frac{8}{15} \)
- **C.** \( \frac{\sqrt{15}}{7} \)
- **D.** \( \frac{7\sqrt{15}}{15} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-18.png]

Oznaczmy długości boków trójkąta prostokątnego:
- jedna przyprostokątna: \(a = 7\)
- przeciwprostokątna: \(c = 8\)
- druga przyprostokątna: \(b = ?\)

**Krok 2: Znajdźmy długość drugiej przyprostokątnej**

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2 + b^2 = c^2$$

$$7^2 + b^2 = 8^2$$

$$49 + b^2 = 64$$

$$b^2 = 15$$

$$b = \sqrt{15}$$

**Krok 3: Określmy mniejszy kąt ostry**

W trójkącie prostokątnym mniejszy kąt ostry leży **naprzeciwko** krótszej przyprostokątnej.

Porównajmy długości przyprostokątnych:
- \(a = 7\)
- \(b = \sqrt{15} \approx 3{,}87\)

Zatem \(b < a\), więc mniejszy kąt ostry (oznaczmy go \(\alpha\)) leży naprzeciwko boku \(b = \sqrt{15}\).

**Krok 4: Obliczmy tangens mniejszego kąta**

Tangens kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek przyprostokątnej **przeciwległej** do przyprostokątnej **przyległej**:

$$\tan \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przyprostokątna przyległa}} = \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{15}}{7}$$

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2013