---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-17
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-17
source: Matura próbna Operon listopad 2013
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-17

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2013
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W czworokącie \(OBMA\) kąty wewnętrzne \(AOB\) i \(AMB\) mają równe miary. Wówczas kąt \(\alpha \) ma miarę:

## Odpowiedzi

- **A.** \( 160^\circ \)
- **B.** \( 120^\circ \)
- **C.** \( 240^\circ \)
- **D.** \( 210^\circ \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Analizuje się czworokąt OBMA z warunkiem, że kąty wewnętrzne przy wierzchołkach O i M są równe.

## Oznaczenia i informacje z treści

- Czworokąt OBMA ma wierzchołki w kolejności: O, B, M, A
- Kąt wewnętrzny przy wierzchołku O (czyli ∠AOB) = kąt wewnętrzny przy wierzchołku M (czyli ∠AMB)
- Szukamy miary kąta α

## Kluczowa obserwacja

Z kontekstu zadania (oznaczenie wierzchołka O, typowe w geometrii) oraz faktu, że pytamy o kąt α oznaczony jako kąt **środkowy**, zakłada się standardową sytuację:
- O jest środkiem okręgu
- Punkty A, B, M leżą na okręgu
- α = ∠AOB (kąt środkowy)
- ∠AMB jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku AB

## Związek między kątem środkowym a wpisanym

Dla kąta środkowego α i kąta wpisanego opartych na tym samym łuku zachodzi:
- Kąt wpisany = ½ kąta środkowego

## Warunek z zadania

Mamy ∠AOB = ∠AMB, czyli:
$$\alpha = \frac{\alpha}{2}$$

To równanie nie ma sensu dla α > 0, więc musimy rozważyć pełny kąt.

## Poprawna interpretacja

Jeśli kąty wewnętrzne czworokąta przy O i M są równe, a O jest środkiem, to:
- Kąt środkowy α jest liczony jako **kąt pełny minus kąt podstawowy**
- Jeśli oznaczamy mniejszy kąt środkowy jako β, to α = 360° - β
- Kąt wpisany ∠AMB oparty na łuku większym wynosi: ∠AMB = ½(360° - β) = 180° - ½β

Z warunku ∠AOB = ∠AMB w czworokącie (jako kąty wewnętrzne):

Jeśli interpretujemy α jako większy kąt środkowy i używamy relacji dla czworokąta wpisanego:
$$\alpha = 2 \cdot (180° - \frac{360° - \alpha}{2})$$
$$\alpha = 360° - (360° - \alpha)$$

## Standardowe rozwiązanie

Dla punktów na okręgu, gdy kąt wpisany równa się odpowiedniemu kątowi w konfiguracji:
$$\alpha + \frac{\alpha}{2} = 360°$$
$$\frac{3\alpha}{2} = 360°$$
$$\alpha = 240°$$

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2013