---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-16
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-16
source: Matura próbna Operon listopad 2013
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-16

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2013
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W trójkącie równoramiennym \(ABC\) o wysokościach \(CD\) i \(AE\) podstawa \(AB\) ma długość \(8\) cm, a odcinek \(BE\) ma długość \(3\) cm. Długość odcinka \(AC\) jest równa:

## Odpowiedzi

- **A.** \( 6 \) cm
- **B.** \( \frac{32}{3} \) cm
- **C.** \( \frac{28}{3} \) cm
- **D.** \( \frac{33}{2} \) cm

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznacza się wierzchołki i dane:
- Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny
- \(AB = 8\) cm (podstawa)
- \(CD\) i \(AE\) są wysokościami
- \(BE = 3\) cm

**Krok 1: Ustalenie, które boki są równe**

Skoro \(AB\) jest podstawą trójkąta równoramiennego, to ramiona są równe: \(AC = BC\).

**Krok 2: Analiza wysokości \(AE\)**

Wysokość \(AE\) opuszczona jest z wierzchołka \(A\) na bok \(BC\), więc \(E \in BC\) i \(AE \perp BC\).

Ponieważ \(BE = 3\) cm, to:
$$EC = BC - BE = BC - 3$$

**Krok 3: Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABE\)**

W trójkącie prostokątnym \(ABE\) (gdzie \(\angle AEB = 90°\)):
$$AB^2 = AE^2 + BE^2$$
$$64 = AE^2 + 9$$
$$AE^2 = 55$$
$$AE = \sqrt{55}$$

**Krok 4: Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(AEC\)**

W trójkącie prostokątnym \(AEC\) (gdzie \(\angle AEC = 90°\)):
$$AC^2 = AE^2 + EC^2$$
$$AC^2 = 55 + EC^2$$

**Krok 5: Wyrażenie \(EC\) przez \(AC\)**

Ponieważ \(AC = BC\) i \(EC = BC - 3\), mamy:
$$EC = AC - 3$$

**Krok 6: Podstawienie do równania**

$$AC^2 = 55 + (AC - 3)^2$$
$$AC^2 = 55 + AC^2 - 6AC + 9$$
$$0 = 64 - 6AC$$
$$6AC = 64$$
$$AC = \frac{64}{6} = \frac{32}{3} \text{ cm}$$

**Weryfikacja:**
- \(AC = BC = \frac{32}{3}\) cm
- \(EC = \frac{32}{3} - 3 = \frac{23}{3}\) cm
- Sprawdzenie: \(AC^2 = 55 + EC^2 \Rightarrow \left(\frac{32}{3}\right)^2 = 55 + \left(\frac{23}{3}\right)^2\)
- \(\frac{1024}{9} = 55 + \frac{529}{9} = \frac{495 + 529}{9} = \frac{1024}{9}\) ✓

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2013