---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-10
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-10
source: Matura próbna Operon listopad 2013
category: Wyrażenia algebraiczne
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-10

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2013
**Kategoria:** Wyrażenia algebraiczne
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Wielomian \(W(x)\) jest stopnia czwartego. Pierwiastkiem dwukrotnym tego wielomianu jest liczba \(-1\). Po rozłożeniu na czynniki wielomian ten może być postaci:

## Odpowiedzi

- **A.** \( -2(x-1)^2(x^2+1) \)
- **B.** \( (x+1)^2(x-4) \)
- **C.** \( -(x+1)^2(x^2+3) \)
- **D.** \( (x-1)(x+1)(x+2)(x-3) \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

# Analiza warunków zadania

Wielomian $W(x)$ musi spełniać dwa warunki:
1. Jest stopnia czwartego
2. Liczba $-1$ jest jego pierwiastkiem **dwukrotnym**

Jeśli $-1$ jest pierwiastkiem dwukrotnym, to w rozkładzie na czynniki musi wystąpić czynnik $(x+1)^2$.

# Sprawdzenie kolejnych opcji

**Opcja A:** $-2(x-1)^2(x^2+1)$

Stopień wielomianu: $2 + 2 = 4$ ✓

Pierwiastki:
- $(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$ (dwukrotny)
- $(x^2+1) = 0 \Rightarrow x^2 = -1$ (brak rzeczywistych pierwiastków)

Liczba $-1$ **nie jest** pierwiastkiem. ✗

**Opcja B:** $(x+1)^2(x-4)$

Stopień wielomianu: $2 + 1 = 3$ 

To wielomian stopnia trzeciego, nie czwartego. ✗

**Opcja C:** $-(x+1)^2(x^2+3)$

Stopień wielomianu: $2 + 2 = 4$ ✓

Pierwiastki:
- $(x+1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1$ (dwukrotny) ✓
- $(x^2+3) = 0 \Rightarrow x^2 = -3$ (brak rzeczywistych pierwiastków)

Liczba $-1$ jest pierwiastkiem dwukrotnym. ✓

**Opcja D:** $(x-1)(x+1)(x+2)(x-3)$

Stopień wielomianu: $1 + 1 + 1 + 1 = 4$ ✓

Pierwiastki: $x = 1, -1, -2, 3$ (wszystkie **jednokrotne**)

Liczba $-1$ jest pierwiastkiem jednokrotnym, nie dwukrotnym. ✗

# Weryfikacja odpowiedzi C

Wielomian $-(x+1)^2(x^2+3)$:
- Ma stopień 4 ✓
- Ma czynnik $(x+1)^2$, więc $-1$ jest pierwiastkiem dwukrotnym ✓
- Czynnik $(x^2+3)$ jest zawsze dodatni, więc nie daje innych rzeczywistych pierwiastków

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/wyrazenia-algebraiczne
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2013