---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-02
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-02
source: Matura próbna Operon listopad 2013
category: Logarytmy
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2013-02

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2013
**Kategoria:** Logarytmy
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Wartość wyrażenia \( \frac{1}{2}\log_{3}\!15-\log_{3}\!\sqrt{5} \) jest równa:

## Odpowiedzi

- **A.** \(-1 \)
- **B.** \(\log_{3}\!3\sqrt{5} \)
- **C.** \(\frac{1}{2} \)
- **D.** \(1 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Przekształca się wyrażenie korzystając z własności logarytmów.

**Krok 1:** Zapisuje się wyrażenie wyjściowe

$$\frac{1}{2}\log_{3}15 - \log_{3}\sqrt{5}$$

**Krok 2:** Stosuje się własność \(a\log_b c = \log_b c^a\) do pierwszego składnika

$$\frac{1}{2}\log_{3}15 = \log_{3}15^{\frac{1}{2}} = \log_{3}\sqrt{15}$$

**Krok 3:** Wyrażenie przyjmuje postać

$$\log_{3}\sqrt{15} - \log_{3}\sqrt{5}$$

**Krok 4:** Stosuje się własność różnicy logarytmów \(\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c}\)

$$\log_{3}\sqrt{15} - \log_{3}\sqrt{5} = \log_{3}\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}$$

**Krok 5:** Upraszcza się ułamek pod logarytmem

$$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{15}{5}} = \sqrt{3}$$

**Krok 6:** Oblicza się wartość logarytmu

$$\log_{3}\sqrt{3} = \log_{3}3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\log_{3}3 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$$

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/logarytmy
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2013