---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2012-32
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2012-32
source: Matura próbna Operon listopad 2012
category: Równania i nierówności
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2012-32

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2012
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Turysta pokonał pieszo trasę długości \(30\) km z miejscowości \(A\) do miejscowości \(B\) ze stałą prędkością. Rowerem poruszałby się z prędkością o \(9\) km/h większą i przybyłby do celu o 3 godziny wcześniej. Wyznacz prędkość marszu turysty i czas przejścia tej drogi.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(v=6\) km/h, \(t=5\) h

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznacza się wielkości występujące w zadaniu:
- \(v\) [km/h] – prędkość marszu turysty
- \(t\) [h] – czas przejścia trasy pieszo
- \(s = 30\) km – długość trasy

## Krok 1: Zapisuje się zależność między drogą, prędkością i czasem dla marszu pieszo

Ze wzoru \(s = v \cdot t\) otrzymuje się:
$$30 = v \cdot t$$

Stąd:
$$t = \frac{30}{v}$$

## Krok 2: Zapisuje się warunki dla jazdy rowerem

Gdyby turysta jechał rowerem:
- prędkość wynosiłaby: \(v + 9\) [km/h]
- czas przejazdu: \(t - 3\) [h] (o 3 godziny krócej)

Korzysta się ponownie ze wzoru \(s = v \cdot t\):
$$30 = (v + 9)(t - 3)$$

## Krok 3: Podstawia się wyrażenie na \(t\) z kroku 1

Z pierwszego równania wynika, że \(t = \frac{30}{v}\), więc:
$$30 = (v + 9)\left(\frac{30}{v} - 3\right)$$

## Krok 4: Rozwija się i upraszcza równanie

$$30 = (v + 9) \cdot \frac{30 - 3v}{v}$$

$$30v = (v + 9)(30 - 3v)$$

$$30v = 30v - 3v^2 + 270 - 27v$$

$$30v = 30v - 3v^2 + 270 - 27v$$

$$0 = -3v^2 - 27v + 270$$

Dzieli się obie strony przez \(-3\):
$$v^2 + 9v - 90 = 0$$

## Krok 5: Rozwiązuje się równanie kwadratowe

Oblicza się wyróżnik:
$$\Delta = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 81 + 360 = 441 = 21^2$$

$$v = \frac{-9 \pm 21}{2}$$

Otrzymuje się dwa rozwiązania:
- \(v_1 = \frac{-9 + 21}{2} = \frac{12}{2} = 6\)
- \(v_2 = \frac{-9 - 21}{2} = \frac{-30}{2} = -15\)

Ponieważ prędkość musi być dodatnia: \(v = 6\) km/h

## Krok 6: Oblicza się czas marszu

$$t = \frac{30}{v} = \frac{30}{6} = 5 \text{ h}$$

## Sprawdzenie

- Marsz pieszo: \(30\) km przy \(6\) km/h trwa \(5\) h ✓
- Jazda rowerem: \(30\) km przy \(15\) km/h trwa \(2\) h ✓
- Różnica czasu: \(5 - 2 = 3\) h ✓

**Odpowiedź:** Prędkość marszu turysty wynosi \(v = 6\) km/h, a czas przejścia trasy \(t = 5\) h.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2012