---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2012-31
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2012-31
source: Matura próbna Operon listopad 2012
category: Stereometria
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2012-31

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2012
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe \(24\), a kąt płaski ściany bocznej przy podstawie ma miarę \(\alpha \) i \(\operatorname{tg} \alpha =2\). Wyznacz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{3}}{6}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2012-31.png]

Oznaczeń i dane:
- Ostrosłup prawidłowy trójkątny (podstawa to trójkąt równoboczny)
- Pole powierzchni bocznej: \(P_b = 24\)
- Kąt płaski ściany bocznej przy podstawie: \(\alpha\), gdzie \(\operatorname{tg} \alpha = 2\)

**Krok 2: Zrozumienie kąta płaskiego ściany bocznej**

Ściana boczna to trójkąt równoramienny. Kąt płaski przy podstawie to jeden z dwóch kątów równych tego trójkąta (kąty przy krawędzi podstawy ostrosłupa).

Niech:
- \(a\) = długość krawędzi podstawy
- \(h_b\) = wysokość ściany bocznej (apotema ostrosłupa)

**Krok 3: Wykorzystanie warunku \(\operatorname{tg} \alpha = 2\)**

W trójkącie równoramiennym (ściana boczna) o podstawie \(a\) i ramionach \(b\):

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{h_b}{\frac{a}{2}} = \frac{2h_b}{a}$$

Z warunku \(\operatorname{tg} \alpha = 2\):

$$\frac{2h_b}{a} = 2$$

$$h_b = a$$

**Krok 4: Obliczenie pola powierzchni bocznej**

Powierzchnia boczna składa się z 3 równych trójkątów:

$$P_b = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_b = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{3a^2}{2}$$

Z warunku \(P_b = 24\):

$$\frac{3a^2}{2} = 24$$

$$a^2 = 16$$

$$a = 4$$

Zatem \(h_b = 4\).

**Krok 5: Znalezienie wysokości ostrosłupa**

Dla trójkąta równobocznego o boku \(a = 4\), promień okręgu wpisanego:

$$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Wysokość ostrosłupa \(H\) możemy znaleźć z trójkąta prostokątnego utworzonego przez:
- \(H\) (wysokość ostrosłupa)
- \(r\) (odległość od środka podstawy do środka krawędzi podstawy)
- \(h_b\) (apotema = wysokość ściany bocznej)

$$H^2 + r^2 = h_b^2$$

$$H^2 + \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 16$$

$$H^2 + \frac{4 \cdot 3}{9} = 16$$

$$H^2 + \frac{4}{3} = 16$$

$$H^2 = 16 - \frac{4}{3} = \frac{48 - 4}{3} = \frac{44}{3}$$

**Krok 6: Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy**

Kąt nachylenia \(\beta\) ściany bocznej do podstawy obliczamy z tego samego trójkąta prostokątnego:

$$\cos \beta = \frac{r}{h_b} = \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{6}$$

**Odpowiedź:** \(\cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{6}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2012