---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2012-30
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2012-30
source: Matura próbna Operon listopad 2012
category: Geometria analityczna
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2012-30

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2012
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Prosta \(y = x + 4\) przecina okrąg o równaniu \((x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25\) w punktach \(A\) i \(B\). Oblicz współrzędne punktów \(A\) i \(B\), a następnie oblicz obwód trójkąta \(ABS\), gdzie \(S\) jest środkiem danego okręgu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(A=(-5,-1)\), \(B=(2,6)\), \(Ob=10+7\sqrt{2}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2012-30.png]

Wyznacza się punkty przecięcia prostej z okręgiem, a następnie oblicza obwód trójkąta.

## Krok 2: Wyznaczenie punktów przecięcia A i B

Podstawia się równanie prostej $$y = x + 4$$ do równania okręgu $$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$$

$$(x + 1)^2 + (x + 4 - 2)^2 = 25$$

$$(x + 1)^2 + (x + 2)^2 = 25$$

Rozwija się nawiasy:

$$x^2 + 2x + 1 + x^2 + 4x + 4 = 25$$

$$2x^2 + 6x + 5 = 25$$

$$2x^2 + 6x - 20 = 0$$

Dzieli się przez 2:

$$x^2 + 3x - 10 = 0$$

## Krok 3: Rozwiązanie równania kwadratowego

Szuka się rozkładu na czynniki lub stosuje wzór:

$$\Delta = 9 + 40 = 49$$

$$x_1 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

$$x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

## Krok 4: Wyznaczenie współrzędnych y

Dla $$x_1 = -5$$: $$y_1 = -5 + 4 = -1$$

Dla $$x_2 = 2$$: $$y_2 = 2 + 4 = 6$$

Zatem:
$$A = (-5, -1), \quad B = (2, 6)$$

**Uwaga:** W odpowiedzi podano $$A=(-5,1)$$, ale z obliczeń wynika $$A=(-5,-1)$$. Sprawdza się poprawność w równaniu okręgu:

$$(-5+1)^2 + (-1-2)^2 = 16 + 9 = 25$$ ✓

## Krok 5: Ustalenie środka okręgu S

Z równania $$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$$ odczytuje się:

$$S = (-1, 2)$$

Promień: $$r = 5$$

## Krok 6: Obliczenie długości boków trójkąta ABS

**Bok |AS|:**

$$|AS| = \sqrt{(-5-(-1))^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

**Bok |BS|:**

$$|BS| = \sqrt{(2-(-1))^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

**Bok |AB|:**

$$|AB| = \sqrt{(2-(-5))^2 + (6-(-1))^2} = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$$

## Krok 7: Obliczenie obwodu

$$Ob_{ABS} = |AS| + |BS| + |AB| = 5 + 5 + 7\sqrt{2} = 10 + 7\sqrt{2}$$

**Odpowiedź:** $$A = (-5, -1)$$, $$B = (2, 6)$$, $$Ob = 10 + 7\sqrt{2}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2012