---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2012-28
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2012-28
source: Matura próbna Operon listopad 2012
category: Potęgi i pierwiastki
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2012-28

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2012
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dana jest liczba \(a=\sqrt{(2-2\sqrt{5})^2}-2\sqrt{5}\) . Wykaż, że liczba \(a\) jest całkowita.

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Punktem wyjścia jest uproszczenie wyrażenia pod pierwiastkiem kwadratowym.

**Krok 1: Obliczenie wartości bezwzględnej**

Mamy $$a = \sqrt{(2-2\sqrt{5})^2} - 2\sqrt{5}$$

Przypomnijmy, że $$\sqrt{x^2} = |x|$$

Więc:
$$a = |2-2\sqrt{5}| - 2\sqrt{5}$$

**Krok 2: Określenie znaku wyrażenia \(2-2\sqrt{5}\)**

Sprawdźmy, czy \(2-2\sqrt{5}\) jest dodatnie czy ujemne:

$$2 - 2\sqrt{5} = 2(1-\sqrt{5})$$

Ponieważ \(\sqrt{5} \approx 2{,}236 > 1\), to:
$$1 - \sqrt{5} < 0$$

Zatem:
$$2 - 2\sqrt{5} < 0$$

**Krok 3: Zastosowanie definicji wartości bezwzględnej**

Skoro \(2-2\sqrt{5} < 0\), to:
$$|2-2\sqrt{5}| = -(2-2\sqrt{5}) = -2+2\sqrt{5} = 2\sqrt{5}-2$$

**Krok 4: Podstawienie do wzoru na \(a\)**

$$a = (2\sqrt{5}-2) - 2\sqrt{5}$$

$$a = 2\sqrt{5} - 2 - 2\sqrt{5}$$

$$a = -2$$

**Wniosek:**

Liczba \(a = -2\) jest liczbą całkowitą, co kończy dowód.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2012