---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2012-24
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2012-24
source: Matura próbna Operon listopad 2012
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2012-24

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2012
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) drugi wyraz jest równy \(7\), a szósty \(17\). Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(a_1=\frac{9}{2}\), \(r=\frac{5}{2}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Dane są dwa wyrazy ciągu arytmetycznego. Wykorzystuje się wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

## Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$$

gdzie \(a_1\) to pierwszy wyraz, a \(r\) to różnica ciągu.

## Zapisuje się dane z treści zadania

Z treści zadania dane są:
- \(a_2 = 7\)
- \(a_6 = 17\)

## Układam układ równań

Dla drugiego wyrazu:
$$a_2 = a_1 + (2-1) \cdot r$$
$$7 = a_1 + r$$

Dla szóstego wyrazu:
$$a_6 = a_1 + (6-1) \cdot r$$
$$17 = a_1 + 5r$$

## Rozwiązuje się układ równań

Układ równań:
$$\begin{cases}
a_1 + r = 7 \\
a_1 + 5r = 17
\end{cases}$$

Po odjęciu pierwszego równania od drugiego:
$$(a_1 + 5r) - (a_1 + r) = 17 - 7$$
$$4r = 10$$
$$r = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$

## Wyznaczenie pierwszego wyrazu

Po podstawieniu \(r = \frac{5}{2}\) do pierwszego równania:
$$a_1 + \frac{5}{2} = 7$$
$$a_1 = 7 - \frac{5}{2} = \frac{14}{2} - \frac{5}{2} = \frac{9}{2}$$

## Sprawdzenie

- \(a_2 = \frac{9}{2} + 1 \cdot \frac{5}{2} = \frac{9}{2} + \frac{5}{2} = \frac{14}{2} = 7\) ✓
- \(a_6 = \frac{9}{2} + 5 \cdot \frac{5}{2} = \frac{9}{2} + \frac{25}{2} = \frac{34}{2} = 17\) ✓

## Odpowiedź

$$a_1 = \frac{9}{2}, \quad r = \frac{5}{2}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2012