---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2012-21
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2012-21
source: Matura próbna Operon listopad 2012
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2012-21

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2012
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Długość promienia \(r\) okręgu opisanego na kwadracie jest równa \(2\sqrt{3}\). Długość boku tego kwadratu ma wartość:

## Odpowiedzi

- **A.** \( 4\sqrt{3} \)
- **B.** \( 2\sqrt{6} \)
- **C.** \( 4\sqrt{6} \)
- **D.** \( 2\sqrt{5} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2012-21.png]

Oznaczmy długość boku kwadratu przez \(a\).

**Krok 2: Związek między przekątną a bokiem kwadratu**

W kwadracie o boku \(a\) przekątna \(d\) wynosi:
$$d = a\sqrt{2}$$

**Krok 3: Związek między promieniem okręgu opisanego a przekątną**

Okrąg opisany na kwadracie przechodzi przez wszystkie cztery wierzchołki kwadratu. Środek tego okręgu znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych kwadratu.

Promień okręgu opisanego jest równy połowie przekątnej kwadratu:
$$r = \frac{d}{2}$$

**Krok 4: Wyrażenie boku przez promień**

Podstawiając \(d = a\sqrt{2}\) do wzoru na promień:
$$r = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

**Krok 5: Obliczenie boku kwadratu**

Mamy \(r = 2\sqrt{3}\), więc:
$$2\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Mnożymy obie strony przez 2:
$$4\sqrt{3} = a\sqrt{2}$$

Dzielimy obie strony przez \(\sqrt{2}\):
$$a = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$

**Krok 6: Wymiernianie mianownika**

$$a = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$$

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2012