---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2012-14
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2012-14
source: Matura próbna Operon listopad 2012
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2012-14

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2012
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{5}\). Wówczas \(\cos \alpha \) jest równy:

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{5}{12} \)
- **B.** \( \frac{5}{13} \)
- **C.** \( \frac{10}{13} \)
- **D.** \( \frac{12}{13} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2012-14.png]

Skoro $\operatorname{tg} \alpha = \frac{12}{5}$, to z definicji tangensa:

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{12}{5}$$

**Metoda 1: Trójkąt prostokątny**

Tangens to stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej, więc możemy rozpatrzyć trójkąt prostokątny, w którym:
- przyprostokątna przyległa = 5
- przyprostokątna przeciwległa = 12

Z twierdzenia Pitagorasa znajdujemy przeciwprostokątną $c$:

$$c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$

$$c = \sqrt{169} = 13$$

Zatem:

$$\cos \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{5}{13}$$

**Metoda 2: Tożsamość trygonometryczna**

Z tożsamości $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$:

$$1 + \left(\frac{12}{5}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

$$1 + \frac{144}{25} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

$$\frac{25 + 144}{25} = \frac{169}{25} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

$$\cos^2 \alpha = \frac{25}{169}$$

Ponieważ kąt $\alpha$ jest ostry, to $\cos \alpha > 0$, więc:

$$\cos \alpha = \frac{5}{13}$$

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2012