---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2012-09
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2012-09
source: Matura próbna Operon listopad 2012
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2012-09

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2012
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W trójkącie równoramiennym wysokość jest dwa razy dłuższa od podstawy. Wynika stąd, że sinus kąta przy podstawie wynosi:

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{\sqrt{17}}{17} \)
- **B.** \( \frac{\sqrt{5}}{5} \)
- **C.** \( \frac{4\sqrt{17}}{17} \)
- **D.** \( \frac{1}{17} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2012-09.png]

Oznaczeń i analiza zadania:
- Niech podstawa trójkąta równoramiennego ma długość \(a\)
- Wysokość opuszczona na podstawę ma długość \(h = 2a\)
- W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na połowy

**Krok 2: Rozpatrzenie trójkąta prostokątnego**

Wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokąte. W każdym z nich:
- jedna przyprostokątna to połowa podstawy: \(\frac{a}{2}\)
- druga przyprostokątna to wysokość: \(h = 2a\)
- przeciwprostokątna to ramię trójkąta równoramiennego: \(b\)

**Krok 3: Obliczenie długości ramienia**

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$b^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + (2a)^2$$

$$b^2 = \frac{a^2}{4} + 4a^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{16a^2}{4} = \frac{17a^2}{4}$$

$$b = \frac{a\sqrt{17}}{2}$$

**Krok 4: Obliczenie sinusa kąta przy podstawie**

Kąt przy podstawie oznaczmy jako \(\alpha\). W trójkącie prostokątnym:

$$\sin \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{h}{b}$$

$$\sin \alpha = \frac{2a}{\frac{a\sqrt{17}}{2}} = \frac{2a \cdot 2}{a\sqrt{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}}$$

**Krok 5: Wymiernienie mianownika**

$$\sin \alpha = \frac{4}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}} = \frac{4\sqrt{17}}{17}$$

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2012