---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2012-08
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2012-08
source: Matura próbna Operon listopad 2012
category: Ciągi
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2012-08

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2012
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Suma \(2n\) początkowych liczb naturalnych dodatnich parzystych jest równa:

## Odpowiedzi

- **A.** \( S_{2n}=8n^2+4n \)
- **B.** \( S_{2n}=4n^2+2n \)
- **C.** \( S_{2n}=4n^2+n \)
- **D.** \( S_{2n}=2n^2+2n \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Szukamy sumy \(2n\) początkowych liczb naturalnych dodatnich parzystych.

**Krok 1: Wypisanie ciągu**

Pierwsze \(2n\) liczb naturalnych dodatnich parzystych to:
$$2, 4, 6, 8, \ldots, 4n-2, 4n$$

**Krok 2: Rozpoznanie ciągu arytmetycznego**

To ciąg arytmetyczny o:
- pierwszym wyrazie \(a_1 = 2\)
- różnicy \(r = 2\)
- ostatnim (2n-tym) wyrazie \(a_{2n} = 4n\)

Sprawdzenie: \(a_{2n} = a_1 + (2n-1) \cdot r = 2 + (2n-1) \cdot 2 = 2 + 4n - 2 = 4n\) ✓

**Krok 3: Wzór na sumę ciągu arytmetycznego**

$$S_{2n} = \frac{(\text{pierwszy wyraz} + \text{ostatni wyraz}) \cdot \text{liczba wyrazów}}{2}$$

$$S_{2n} = \frac{(a_1 + a_{2n}) \cdot 2n}{2} = \frac{(2 + 4n) \cdot 2n}{2}$$

**Krok 4: Uproszczenie**

$$S_{2n} = \frac{2n(2 + 4n)}{2} = n(2 + 4n) = 2n + 4n^2$$

$$S_{2n} = 4n^2 + 2n$$

**Weryfikacja dla \(n=1\):** suma dwóch pierwszych liczb parzystych to \(2+4=6\), a wzór daje \(4 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 6\) ✓

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2012