---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-34
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2011-34
source: Matura próbna Operon listopad 2011
category: Funkcja liniowa
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2011-34

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2011
**Kategoria:** Funkcja liniowa
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Piramida ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wysokość jest równa \(6\), a długość krawędzi bocznej jest równa \(2\sqrt{15}\). Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej piramidy do podstawy.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(60^\circ \)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-34.png]

Oznaczmy:
- \(H = 6\) – wysokość ostrosłupa
- \(b = 2\sqrt{15}\) – długość krawędzi bocznej
- \(a\) – długość krawędzi podstawy

**Krok 2: Znajdźmy długość krawędzi podstawy**

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość pada na środek kwadratu podstawy. Rozważmy trójkąt prostokątny utworzony przez:
- wysokość ostrosłupa \(H = 6\)
- odległość od środka podstawy do wierzchołka podstawy (połowa przekątnej kwadratu) = \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
- krawędź boczną \(b = 2\sqrt{15}\)

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$b^2 = H^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2$$

$$(2\sqrt{15})^2 = 6^2 + \frac{2a^2}{4}$$

$$60 = 36 + \frac{a^2}{2}$$

$$24 = \frac{a^2}{2}$$

$$a^2 = 48$$

$$a = 4\sqrt{3}$$

**Krok 3: Znajdźmy kąt nachylenia ściany bocznej**

Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt między płaszczyzną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy.

Ten kąt znajduje się w płaszczyźnie prostopadłej do krawędzi podstawy. Rozważmy przekrój przez:
- wysokość ostrosłupa
- środek krawędzi podstawy (apotema)

W tym przekroju mamy trójkąt prostokątny, w którym:
- przyprostokątna pionowa = wysokość \(H = 6\)
- przyprostokątna pozioma = odległość od środka podstawy do środka krawędzi (apotema podstawy) = \(\frac{a}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\)
- przeciwprostokątna = apotema ściany bocznej

Kąt \(\alpha\) między ścianą boczną a podstawą spełnia:
$$\tan \alpha = \frac{H}{\frac{a}{2}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$$

Ponieważ \(\tan \alpha = \sqrt{3}\), to:
$$\alpha = 60°$$

**Odpowiedź: Miara kąta nachylenia ściany bocznej piramidy do podstawy wynosi \(60°\).**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-liniowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2011