---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-32
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2011-32
source: Matura próbna Operon listopad 2011
category: Planimetria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2011-32

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2011
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny \(ABC\) jest styczny do przeciwprostokątnej \(AB\) w punkcie \(K\). Wiadomo, że \(|AK| = 4\) i \(|KB| = 6\). Oblicz promień tego okręgu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(r=2\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznaczmy promień okręgu wpisanego jako \(r\), a kąt prosty trójkąta znajduje się w wierzchołku \(C\).

**Krok 1: Wykorzystanie własności stycznych**

Z punktu \(A\) do okręgu można poprowadzić dwie styczne. Niech okrąg styka się z przyprostokątną \(AC\) w punkcie \(P\), a z przyprostokątną \(BC\) w punkcie \(Q\).

Z własności stycznych do okręgu z punktu zewnętrznego:
- \(|AK| = |AP| = 4\)
- \(|BK| = |BQ| = 6\)
- \(|CP| = |CQ| = r\) (bo \(C\) jest wierzchołkiem kąta prostego)

**Krok 2: Wyznaczenie długości boków**

Możemy teraz wyznaczyć długości boków trójkąta:
- \(|AB| = |AK| + |KB| = 4 + 6 = 10\)
- \(|AC| = |AP| + |PC| = 4 + r\)
- \(|BC| = |BQ| + |QC| = 6 + r\)

**Krok 3: Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa**

Ponieważ trójkąt \(ABC\) jest prostokątny z kątem prostym przy \(C\), zachodzi:

$$|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2$$

Podstawiając nasze wyrażenia:

$$10^2 = (4+r)^2 + (6+r)^2$$

**Krok 4: Rozwiązanie równania**

$$100 = (4+r)^2 + (6+r)^2$$

$$100 = 16 + 8r + r^2 + 36 + 12r + r^2$$

$$100 = 52 + 20r + 2r^2$$

$$2r^2 + 20r + 52 = 100$$

$$2r^2 + 20r - 48 = 0$$

Dzielimy przez 2:

$$r^2 + 10r - 24 = 0$$

**Krok 5: Rozwiązanie równania kwadratowego**

Szukamy rozkładu: \(r^2 + 10r - 24 = (r+12)(r-2) = 0\)

Stąd: \(r = -12\) lub \(r = 2\)

Ponieważ promień musi być dodatni: \(r = 2\)

**Odpowiedź: \(r = 2\)**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2011